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- 2021-04-16 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！安徽省安庆市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设为两个随机事件，如果为互斥事件 表示 的对立事件)，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定为互斥事件 D． 与一定不为互斥事件
【答案】A
考点：互斥事件与对立事件.
【易错点晴】要注意对立事件和互斥事件的联系与区别. 互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而
为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．
2.用秦九韶算法计算多项式 ，当时的值时，
需要做乘法和加法的次数分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
，所以要做次加法次乘法.
考点：秦九韶算法.
3.如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（ ）
A．求三数的最大数 B．求三数的最小数
C．将按从小到大排列 D．将按从大到小排列
【答案】B
考点：算法与程序框图.
4.计算机执行下面的程序，输出的结果是（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：运行程序，输出.
考点：算法与程序框图.
5.某校高中生共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采用分
层抽取容量为人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
考点：分层抽样.
6.把化为二进制数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：利用带余除法，有，所以化为.
考点：十进制与二进制转化.
7.已知三角形的顶点 ，则三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C. 钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】
试题分析：利用两点间的距离公式计算得，，故为直角三角形.
考点：解三角形.
8.从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：一共五个人，选两个人，每个人被选中的概率都是.
考点：古典概型.
9.甲乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲乙两人的平均数与中位数分别相等，
则为（ ）
A． B． C.或 D．或
【答案】D
考点：茎叶图，平均数，中位数.
10.已知圆的方程为 是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别
为和，则四边形的面积是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：最长的弦长为直径，故，最短的弦长是过且与直径垂直的弦长，故，由于所以面积为.
考点：直线与圆的位置关系.
11.已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率
为，则（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
考点：几何概型.
【思路点晴】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件的区域长度和实验的全部结果所构成的区域程度，两者求比值，即为概率.结合了解三角形的知识. 首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题 （事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式求得概率.
12. 若圆 上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，
则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
考点：直线与圆的位置关系.
【思路点晴】圆上的点到直线的距离相等的问题，首先需要我们先利用配方法将圆的普通方程化为标准方程，得出圆心和半径.接着画出草图，由图可知，要有至少三个不同的点到直线的距离为，必须直线经过直线的两个三等分点，此时，圆心到直线的距离为，而最近的直径端点到直线的距离为，这个位置恰好有三个点到直线的距离为.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.过两点 ，且圆心在直线 上的圆的标准方程是__________.
【答案】
【解析】
试题分析：的中点为，斜率为，所以的垂直平分线的方程为，化简得，联立，解得圆心坐标为，半径为，故圆的方程为.
考点：直线与圆的位置关系.
14.两整数和的最大公约数是__________.
【答案】
考点：最大公约数.
15.设某总体是由编号为 的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，
选取方法是从随机数表第行的第列和第 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个
个体的编号是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：取出来的数据分别为，故取出第六个编号是.
考点：随机数表抽样.
【思路点晴】简单随机抽样定义：设一个总体含有个个体，从中逐个不放回抽取个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．简单随机抽样的特点：(1)被抽取样本的总体个数是有限的；(2)样本是从总体中逐个抽取的；(3)是一种不放回抽样；(4)是等可能抽取．当总体个数较少时，应用此法简便可行；当总体个数较多时，采用其它抽样方法.
16.高二（ 11）班班委会由名男生和名女生组成，现从中任选人参加某社区敬老务工作，则
选出的人中至少有一名女生的概率是_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
考点：古典概型.
【思路点晴】本题考查古典概型的计算方法. 六个人任选三个人，基本事件的总数有种. 六个人任选三个人，基本事件的总数有种，这些是需要我们平时熟记的，还有六选二可能性有种，五选二可能性有种，记住这些基本事件的总数，会使计算速度变快.第二步列举出符合题意的事件的可能性，本题采用分类的方法，女男，或者女男，由此计算符合题意的方法数.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用
水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数．说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
【答案】（1）；（2）万；（3）.
【解析】
试题分析：（1）利用小长方形的面积之和等于，计算得；（2）利用不低于吨的每组的中点值作为代表，乘以每组的频率，然后相加，得到估计值为万
；（3）中位数的估计方法是计算左右两边小长方形面积为的地方，以此列出方程，求出中位数为.
考点：频率分布直方图.
18.（本小题满分12分）根据如图所示的程序框图，将输出的依次记为
.
（1）求出数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
【答案】（1），；（2）.
试题解析：
构成首项为，公差为的等差数列，，，构成首项为，公差为的等比数列，，得到 ，
考点：算法与程序框图，数列求和.
19.（本小题满分12分）设关于的一元二次方程.
（1）若是从 五个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有
实根的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
设事件为“方程 有实根”.当 时，方程有实根的充要条件为.
（1）基本事件共个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含个基本事件，
事件发生的概率为.
（2）试验的全部结果所构成的区域为,构成事件的区域为,所以所求的概率为.
考点：古典概型与几何概型.
20.（本小题满分12分）已知圆,直线
.
（1）求证：直线过定点,且直线与圆相交；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的方程．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）将代入直线方程，成立，故在直线上.圆心为半径为，计算圆心到点的距离小于半径，所以直线和圆相交；（2）由于在圆内，所以最短的弦长是垂直与点的弦长.根据斜率可计算得该直线的斜率，从而求得直线方程.
试题解析：
（1）证明：将点代入直线的方程，得左边右边，所以直线过定点；又，所以点在圆内，所以对任意的实数，直线与圆恒相交.
（2）由平面几何的知识可得，被圆截得最短的弦是与直径 垂直的弦，因为,所以直线的斜率为,所以直线的方程为, 即为直线被圆截得的弦长最短时的方程.
考点：直线与圆的位置关系.
21.（本小题满分12分）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种
服装件数之间的一组数据关系如表：
（1）求纯利与每天销售件数之间的回归方程； (回归直线斜率用分数作答）
（2）若该周内某天销售服装件，估计可获纯利多少元？
【答案】（1）；（2）.
（2）当时，，故该周内某天的销售量为13件时，估计这天可获纯利大约为元.
考点：回归分析.
【方法点晴】本题考查变量间的相关关系.
常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．熟记公式，计算不要出错.
22.（本小题满分12分）已知圆,满足： ①截 y 轴所得弦长为；
②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.
（1）求在满足条件①②的所有圆中，使代数式 取得最小值时，圆的方程；
（2）在（ 1）中， 是圆上的任意一点，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
试题解析：
（1）如图所示，圆心坐标为 , 半径为，则点到轴，轴的距离分别为.
圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，，取的中点，连接，则有，取圆截轴的弦的中点，连接圆截轴所得弦长为，，即.则，
当时，取得最小值，此时，或.对应的圆为：,或.
考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查类似线性规划的知识.第一问给了两个主要条件，一个是代数式取得最小值，这里利用的是配方法求得最小值.第二个条件是圆截两个轴所得的弦长，利用弦长公式，结合半径，可以建立方程进而求解出圆心和半径.第二问是线性规划中斜率型的题目，表示的是圆上的点和点直线连线斜率的取值范围.