【数学】2020届一轮复习人教B版充分条件与必要条件件学案 8页

充分条件与必要条件 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；‎ ‎2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；‎ ‎3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.‎ ‎4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念 符号与的含义 ‎ ‎“若，则”为真命题，记作：；‎ ‎“若，则”为假命题，记作：.‎ 充分条件、必要条件与充要条件 ‎①若，称是的充分条件，是的必要条件.‎ ‎②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.‎ 要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.‎ ‎①“若，则”为真命题；‎ ‎②是的充分条件；‎ ‎③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.‎ 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ‎①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；‎ ‎②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；‎ ‎③若，且，即，则、互为充要条件；‎ ‎④若，且，则是的既不充分也不必要条件.‎ 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ‎ ‎①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；‎ ‎②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；‎ ‎③若A=B，则、互为充要条件；‎ ‎④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.‎ 要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：‎ ‎①确定哪是条件，哪是结论；‎ ‎②尝试用条件推结论，‎ ‎③再尝试用结论推条件，‎ ‎④最后判断条件是结论的什么条件.‎ 要点三、充要条件的证明 ‎ 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）‎ 要点诠释：对于命题“若，则”‎ ‎①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；‎ ‎②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；‎ ‎③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定 例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．‎ ‎【解析】，故，但，‎ ‎∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．‎ ‎【点评】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”；有时需要将条件等价转化后再判定.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？‎ ‎(1) : ， : ；‎ ‎(2) : ，: 抛物线过原点 ‎(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等 ‎【答案】‎ ‎(1)∵: 或, : ‎ ‎∴且,∴是的必要不充分条件；‎ ‎(2)∵且,∴是的充要条件；‎ ‎(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件.‎ ‎【变式2】判断下列各题中是的什么条件.‎ ‎（1）:且, :‎ ‎（2）:, : .‎ ‎【答案】‎ ‎（1）是的充分不必要条件.‎ ‎∵且时，成立；‎ 反之，当时，只要求、同号即可.‎ ‎∴必要性不成立.‎ ‎（2）是的既不充分也不必要条件 ‎∵在的条件下才有成立.‎ ‎∴充分性不成立，同理必要性也不成立.‎ ‎【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（ ）.‎ A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】A；‎ ‎【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.‎ 于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）‎ 故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件.‎ 例2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的 ‎ （A）充分而不必要条件 ‎ （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件。‎ 故选：A。‎ ‎【总结升华】‎ ‎①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；‎ ‎②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】‎ ‎【变式1】已知p：00，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ‎ ‎∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.‎ ‎（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，‎ 则x1·x2=<0，∴ac<0‎ 综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.‎ ‎【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）a=0时适合.‎ ‎（2）当a≠0时，显然方程没有零根，‎ 若方程有两异号的实根，则必须满足；‎ 若方程有两个负的实根，则必须满足 综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；‎ 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1‎ 类型三：充要条件的应用 例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由解得 又由解得 p是q的充分不必要条件，所以 或 解得 ‎【点评】‎ 解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知命题p：1－c0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．‎ ‎【答案】00}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，①或，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0