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- 2021-04-16 发布
第2讲 “四法”锁定填空题——稳得分
题型概述 填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.
方法一 直接法
它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
(2)(2016·浙江卷)若抛物线y 2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________.
解析 (1)由题意知sin＝，且θ是第四象限角，
所以cos>0，所以cos＝，
又tan＝tan＝
＝－＝－.
(2)设点M的横坐标为x0，易知准线x＝－1，∵点M到焦点的距离为10，根据抛物线定义，x0＋1＝10，∴x0＝9，因此点M到y轴的距离为9.
答案 (1)－ (2)9
探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.
【训练1】 (1)(2017·江苏卷)若tan＝，则tan α＝________.
(2)(2017·烟台质检)已知抛物线C1：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上一点，且|PF|＝3，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线恰好过P点，则双曲线C2的离心率为________.
解析 (1)tan α＝tan＝
＝＝.
(2)设点P(x0，y0)，由抛物线定义得x0－(－1)＝3，
所以x0＝2.
又因为y＝4x0，得y0＝±2，即P(2，±2).
又因为双曲线C2的渐近线过P点，所以＝＝，
故e＝＝＝.
答案 (1) (2)
方法二 特殊值法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.
【例2】 (2017·佛山调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
(2)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________.
解析 (1)法一 当△ABC为等边三角形时，满足题设条件，则c＝，C＝且a＝b＝.
∴△ABC的面积S△ABC＝absin C＝.
法二 ∵c2＝(a－b)2＋6，
∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点，故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S30成立的x的取值范围是________.
(2)(2017·合肥模拟)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.
解析 (1)令g(x)＝，则g′(x)＝，由于xf′(x)－f(x)<0，得g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
由f(1)＝0，知g(1)＝0，∴g(x)>0的解集为(0，1)，
因此f(x)>0的解集为(0，1).
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝＝2R，因此R＝，
故球O的体积V＝＝π.[来源:学科网ZXXK]
答案 (1)(0，1) (2)π
探究提高
1.第(1)题构造函数，利用函数的单调性解不等式；第(2)问将三棱锥补形成正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，使问题容易得到解决.
2.构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
【训练4】 在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________.
解析 由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，
∴数列{an＋1}是公比q＝2的等比数列，
因此an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
答案 an＝2n－1
从考试的角度来看，解填空题只要做对就行，不需要中间过程，正因为不需要中间过程，出错的概率大大增加.我们要避免在做题的过程中产生笔误，这种笔误很难纠错，故解填空题要注意以下几个方面：
(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确.
(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论.
(3)要重视对所求结果的检验.
(4)注意从不同的角度分析问题，从而比较用不同的方法解决题目的速度与准确度，从而快速切题，达到准确解题的目的.
填空题的主要特征是题目小，跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了.