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- 2021-04-16 发布
2018—2019 学年度上学期高三年级文科四调试题答案
一、BCBAD CACBA DA
二．13.1+ 14. 15. 1
1 1
2 2n
n
16.
1．【解析】集合 ，集合 = ，根据集合交集的概念得到
.故选 B.
2. 【解析】由复数相等的充分必要条件有： ，即 ，
则 ， .故选 C.
3. 【解析】设 为坐标原点，∵ ，∴ 为直角三角形．
又 的中点，∴ ．∵ ，∴ ，[来源:学科网]
∴ 为正三角形，∴直线 的倾斜角为 ，∴ ．
∴离心率 ．故选 B．
4.【解析】 .故选 A
5.【解析】当 a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但 a⊄α，∴①错；
a∩β＝P 时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面α，
又 a∥b，由 a 与 b 确定唯一平面β，但β经过直线 a 与点 P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；[来源:学§科§网 Z§X§X
§K]
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．．故选 D．
6.【解析】因为 ，故选 C.
7.【解析】由题意，PA⊥平面 ABC，PA=AB=2，AC=2 ，因为平面 ABC，和平面 PBC 都是是直角三角
形，则角 ABC为直角，此时满足 BC 垂直于 PA，BC 垂直于 AB 进而得到 BC 垂直于 PB，此时满足面 PBC
为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边 AC 的中点，球心在过底面圆心并且和 PA 平行的直线上，
并且球心到圆心的距离为 1，直角三角形外接圆的半径为 r= ．∴R2=r2+1，即 R= ．∴球 O 的表面
积 S=4πR2=12π．故选 A．
8【解析】设 332211 ,,,,, yxCyxByxA ，则
1 2 1 2
2 2
1 21 2 1 2
4 3,
4 4
AB
y y y yk y yx x y y
1 2
4
3y y 得 .同理
3
2
6
4
32 yy ， 22
4
13 yy ，三式相加得 0321 yyy .
故与前三式联立，得
3
4,2,3
2
321 yyy ，
9
4
4,14,9
1
4
2
3
3
2
2
2
2
1
1 yxyxyx ，
则
27
14
3
321 xxx .故所求重心的坐标为
0,27
14 .故选 C.
9. 【解析】由题知， 1 1 1 1 02 1 2 2 1 2x xf x f x
，可得 xf 为奇函数.
又 xf 是 R 上的减函数，
故 22222 222022 nmfmnfnmfmnfnmf
2 22 22 2 1 1 2m n m n m n ，所以满足条件的 nm, 表示的区域是圆
211 22 yx 的内部（含边界），则点 nm, 到直线 047 yx 的距离 d=
50
47 nm
2
50
12,2
50
12 ，所以 7 4m n 的取值范围是 22,2 .故选 B.
10.【解析】由函数的图象可得 ，则 ，可得
再由五点作图法可得 ，可得 ,故函数的解析式为
由
故将函数 的图象向左平移 个单位长度可得到 的图象,故选 。
11.【解析】如图所示，任取圆 C2 上一点 Q，以 AQ为直径画圆，
交圆 C1 与 M、N 两点，则由圆的对称性知，MN=AQ，且∠AMQ=∠ANQ=90°，
∴四边形 AMQN 是矩形，由作图知，四边形 AMQN 能构成无数个矩形．
故选 D.
12. 【解析】由已知 即
而 ，故
， 设 ， 容 易 求 得 当 时 的 最 小 值 为 2 ，
当“=”成立的时候 ，故 选 A.
13.【解析】向量 ， 的夹角为 60°， ， ，
∴ =4 ﹣4 • + =4×12﹣4×1×| |×cos60°+
=4﹣2| |+ =10，即 ﹣2| |﹣6=0，解得| |=1+ 或 =1 （不合题意，舍去），
∴| |=1+ ．故填 1+ ．
14.【解析】由三视图还原几何体如图所示：
该几何体还原实物图为三棱锥， 为腰长为 1 的等腰三角形， 平面 ， 则 ，
.∴最长边为 ，故填 .
15.【解析】由题知， 1
11
1
2 2 12 2 2 22 2 , .1 1 2 1 2 1
nn
n nn
n n n
n
a a aa a
则
0 1 1 1
1 2 1 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
n n
n n na a a
所以 ， 1
1 2
1 1 1
2 2n
na a a
故 ，
2 3 1 1
1 1 2 1 2 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2n n
n
n n
a a a a a a a a a
所以 .[来源:Zxxk.Com]
16.【解析】在 Rt△PF1F2 中，∠F1PF2=90°，直线 的斜率为 故得到∠POF2=60°，
∴|PF2|=c，由三角形三边关系得到|PF1|= ，又|PF1|+|PF2|=2a=c+ ，
∴ .故填 ．
三、解答题：
17.【解析】（1）∵ 1
11 12n
n
b b ，∴
1
21 111 1 1
n
n n n
b
b b b
，
∵ 1
1
1 41c b
，∴数列 nc 是以 4 为首项， 1 为公差的等差数列，
∴ 4 ( 1) ( 1) 3nc n n ．…………………5 分
（2）由（1）知， 1 31n
n
c nb
，∴ 2
3n
nb n
，
从而 11 3n na b n
，
1 2 2 3 1n n nS a a a a a a … 1 1 1
4 5 5 6 ( 3)( 4)n n
… 1 1
4 4n
4( 4)
n
n
…………………10 分
18. 【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋
3
，
0≤α≤
3
，故 2cosα－cosβ=2cosα－cos(α＋
3
)＝ 3 sin(α＋
3
)，
故当α＝
6
时，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 3 .………………………6 分
(2)由 cos β＝
7
1 ，得 sin β＝
7
34 ，故 sin α＝sin (β－
3
)＝sin βcos
3
－cos βsin
3
＝
14
33 ，
由正弦定理
ADB
AB
sin
＝
BAD
BD
sin
，故 AB＝
sin
sin BD＝
14
33
7
34
×1＝
3
8 ，
故 S△ABD＝
2
1 AB·BD·sin B＝
2
1 ×
3
8 ×1×
2
3 ＝
3
32 .………………12 分
19．【解析】（1）如图，取 SB 的中点 M ， SC 的中点 E ，连接 AM ， ME DE ，
∵ ME 是 BCS 的中位线，∴ / /ME 1
2 BC ，
依题意得， / /AD 1
2 BC ，则有 / /AD ME ，∴四边形 AMED 是平行四边形，∴ / /ED AM ，
∵ ED 平面 SAB ， AM 平面 SAB ，∴ / /ED 平面 SAB ．………4 分
（2）∵平面 SAD 平面 ABCD ，平面 SAD平面 ABCD AD ， SA AD ， SA 平面 SAD ，
故 SA 平面 ABCD ，∵ E 是 SC 的中点，
∴ E 到平面 ABCD 的距离等于 S 到平面 ABCD 的距离的一半，且 SA 平面 ABCD ， 4SA ，
∴三棱锥 E ACD 的高是 2， E ACD S AEDV V ，
在等腰 ABC 中， 3AC AB ， 4BC ， BC 边上的高为 2 23 2 5 ，
/ /BC AD ，∴C 到 AD 的距离为 5 ，∴ 1 2 5 52ADCS ，
∴ 1 2 55 23 3S AEDV ．………………12 分
20. 解：（1）由题意得
2 2 2
2 4
1
2
a
c
a
a b c
解得 2, 3, 1a b c
所以椭圆方程为
2 2
14 3
x y …………………4 分
（2）直线l 方程为 2y kx ，则 P 的坐标为 2( ,0)k
设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 则 1 1( , )C x y ，
直线 BC 方程为 1 1
2 1 2 1
,y y x x
y y x x
令 0y ，得Q 的横坐标为
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2( )
( ) 4
x y x y kx x x xx y y k x x
①
又
2 2
14 3
2
x y
y kx
得 2 2(3 4 ) 16 4 0.k x kx 得
1 2 2
1 2 2
16
3 4
4
3 4
kx x k
x x k
，
代入①得 2 2
8 2 16 24 216 4(3 4 ) 12
k k kx kk k
，
得 2| | | | | | 2 4p QOP OQ x x kk
， | | | |OP OQ 为常数 4…………………12 分
21. 【解析】（1 ）由题意可知 ：设 ，由抛物线的 性质可知： ，
∴ ；…………………2 分
（2） ， ， ，则 ，∴ ，∴ ，设 的中点 ，
， ，则直线 方程： ，
联立 ，整理得： ，
解得： ， （舍去），∴ 的面积 ；…………………6 分
（3）存在，设 ， ，则 ， ，
直线 方程为 ，∴ ， ，[来源:Z#xx#k.Com]
根据 ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上，且 ．…………………12 分
22.【解析】（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
1 11 1 a xf x ax x
①当 1 0a ，即 1a 时， 0f x ，函数 f x 在 0, 上单调递增；
②当 1 0a 时，令 0f x ，解得 1
1x a
，
i）当 10 1x a
时， 0f x ，函数单调递增，
ii）当 1
1x a
时， 0f x ，函数单调递减；
综上所述：当 1a 时，函数 f x 在 0, 上单调递增，
当 1a 时，函数 f x 在 10, 1a
上单调递增，在 1 ,1a
上单调递减；…………………6
分
（2）由（1）得： max
1 1ln 11 1f x f a a
当函数 f x 有最大值且最大值大于3 1a ， 1ln 1 3 11 aa
，
即 ln 1 3 0a a ，令 ln 1 3g a a a ，
0 0g 且 g a 在 1, 上单调递增， 0 0g a g 在 1, 上恒成立，
-1 0a ，故 a 的取值范围为 10 ， .…………………12 分
[来源:学_科_网]