河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业1 18页

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 1 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知 i 是虚数单位，则复数 A. 1 B. C. i D. 2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D. 3. 如图是根据我国古代数学专著 九章算术 中更相减损术设计的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 4. 已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角为 A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为 ，且经过点 ，则该双曲线的标准方程为 A. B. C. D. 6. 如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边 长为 1，则该几何体各棱中最长棱的长度为 A. B. C. D. 7. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表： 患病未患病总计 2 服用药 10 45 55 没服用药20 30 50 总计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是 附： ； 能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效 不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效 能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效 不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知 ， ，且 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 9. 已知在三棱锥 中， ， ，则该三棱锥外接球的体积为 A. B. C. D. 10. 已知点 P 是直线 上的动点，点 Q 是曲线 上的动点，则 的最小值为 A. 5 B. C. D. 11. 已知点 ， 分别是椭圆 和双曲线 的公共焦点， ， 分别是 和 的离心率，点 P 为 和 的一个公共点，且 ，若 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 已知实数 x，y 满足 ，若当且仅当 时， 取最小值 其中 ， ，则 的最大值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 2019 年 8 月第二届全国青年运动会在山西举行，若将 6 名志愿者分配到两个运动场馆 进行服务，每个运动场馆 3 名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为 ______． 14. 在平面直角坐标系内，由曲线 ， 和 x 轴正半轴所围成的封闭图形的面积为 ________． 15. 已知 a，b，c 分别是 内角 A，B，C 的对边， ， ，则 周长的最小值为______． 3 16. 已知函数 的图象与 的图象有四个不同交点，其横 坐标从小到大依次为 ， ， ， ，则 ______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列 的前 n 项和 满足 ，且 ． Ⅰ 求数列 的通项公式； Ⅱ 若 ，记数列 的前 n 项和为 ，证明： ． 18. 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是直角梯形， ， ， ， 是正三角形， ，E 是 PA 的中点． Ⅰ 证明： ； Ⅱ 求直线 BP 与平面 BDE 所成角的正弦值． 19. 已知某保险公司的某险种的基本保费为 单位：元 ，继续购买该险种的投保人称为续 保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表： 上年度出险次 数 0 1 2 3 保费 元 a 4a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表： 出险次数 0 1 2 3 频数 140 40 12 6 2 该保险公司这种保险的赔付规定如表： 出险序次 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次及以上 赔付金额 元 a 0 将所抽样本的频率视为概率． 记随机变量 为一续保人在下一年度的续保费用， 为其在该年度所获的赔付金额， 求 和 的分布列； 若下一年度有 100 万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于 900 万元，求 4 a 的最小值 纯收益 总入保额 总赔付额 ． 20. 已知直线 l 与抛物线 C： 相交于 A，B 两个不同点，点 M 是抛物线 C 在点 A， B 处的切线的交点． Ⅰ 若直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F，求证： ； Ⅱ 若点 M 的坐标为 ，且 ，求抛物线 C 的方程． 21. 已知 ， 是函数 的两个极值点． Ⅰ 求 a 的取值范围； Ⅱ 证明： ． 22. 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 其中 为参数 ，点 M 在曲 线 上运动，动点 P 满足 ，其轨迹为曲线 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系． 求曲线 的普通方程； Ⅱ 若点 A，B 分别是射线 与曲线 ， 的公共点，求 的最大值． 5 23. 已知函数 ． 当 时，求不等式 的解集； 若 ， ，使得 成立，求实数 a 的取值范围． 6 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解： ． 故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2.【答案】A 【解析】解： ， ； ； ； ； 实数 a 的取值范围为 ． 故选：A． 可求出 ， ，根据 即可得出 ，从而得出 ． 考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、 子集的定义． 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， 是基础题． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量 a 的值，模拟程序 的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案． 【解答】 解：输入 ， ， 第一次执行判断语句后， ，不满足退出的条件； 第二次执行判断语句后， ，不满足退出的条件； 第三次执行判断语句后， ，不满足退出的条件； 第四次执行判断语句后， ，满足退出的条件； 故输出 a 值为 6， 故选：C． 4.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围． 根据 ，对 两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角． 【解答】 解： ； ； 7 ； ； 又 ； 与 的夹角为 ． 故选：D． 5.【答案】B 【解析】解： 双曲线的离心率为 ，又 ， 双曲线经过点 ， 验算得双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线标准方程为 ， 点 ，在双曲线上， ， 解得 ， ， 故所求双曲线方程： ． 故选：B． 由双曲线的离心率 ，得到 a 与 b 的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解． 本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的 数学思想方法，是中档题． 6.【答案】C 【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图： 是长方体的一部分，三棱锥 ，正方形的边长为 4，长方体的高 为 3， 由题意可得： ， ， ， 故选：C． 画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可． 本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关 键． 7.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 根据列联表计算 ，对照临界值即可得出结论． 【解答】 解：根据列联表，计算 ， 8 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效， 正确； 能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效， 错误； 不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效， 错误； 不能在犯错误的概率不超过 的前提下认为药物有效， 正确． 综上，正确的命题序号是 ． 故选：B． 8.【答案】A 【解析】解： ， ． 将 A，B，C，D 中的结论代入方程中，只有 A 能使方程成立． 故选：A． 由条件得 ，然后将选项代入检验即可得到正确结果． 本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题． 9.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 由题意求得三棱锥 的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案． 【解答】 解：如图， ， 在底面 ABC 上的射影 D 为底面三角形的外心， 又 ， 为 AB 的中点， 又 ， 外接圆的半径即为三棱锥 外接球的半径， 等于 ． 该三棱锥外接球的体积为 ． 故选：A． 10.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题． 设直线 与曲线 相切于点 利用导数，解得切点为 Q 坐标．利用点到直线 的距离公式可得 Q 到直线 上的距离 d，即为所求． 【解答】 9 解：设直线 平行的直线 与曲线 相切于点 ． ， 解得 ， ， 切点为 ． Q 到直线 的距离 ． 、Q 两点间距离的最小值为 ． 故选：B． 11.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的 运用，运算能力，属于中档题． 设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，焦点坐标为 ，由椭圆与双曲线的定 义和余弦定理，可得 ，再由 求 的取值范围． 【解答】 解：设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ， 焦点坐标为 ，不妨设 P 为第一象限的点， 由椭圆与双曲线的定义得： ， ， ， ， 由余弦定理得： ， 联立 得： ， 由 ， ，得 ， ， ， ， 则 ， 10 ， ， 又 ， 故选：D． 12.【答案】B 【解析】解：实数 x，y 满足 的可行域如 图： 当且仅当 时， 取最小值 其中 ， ， 可知 在可行域中点两条红色线之间，两条红线 分别与所给直线垂直． 即 ，a，b 满足的可行域如图，当 结果可行域的 A 时，取得最大值：3． 故选：B． 画出约束条件的可行域，推出 a，b 满足的不等式组，然后再通过线性规划求解 的最大 值． 本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题． 13.【答案】 【解析】解：依题意，所有的基本事件的个数为 个， 甲和乙被分到同一场馆包含 个， 所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率 ． 11 故答案为： ． 计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代 入古典概型的概率公式即可． 本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题． 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查定积分的应用，属于基础题． 将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可． 【解答】 解： 根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形． 和 的交点为 ， ． 故答案为： ． 15.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不 等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ，结合范围 ，可求 A，利用三角形的面积公式可求 ，由余弦定理，基本不等式可得 ，根据余弦定理可求得 ，即可求得 周长的最小值． 【解答】 解： ， ， 由正弦定理可得： ， ， 可得 ， 12 ， ． ，可得 ， 又 由余弦定理可得： ，可得 ，当且仅当 时等 号成立， ，可得 ，当且仅当 时等 号成立， 周长的最小值为 故答案为： 16.【答案】1 【解析】解：因为 ， 所以 ， 所以函数 为偶函数， 又函数 为偶函数， 令 ， 又 ， 所以 ， 又 ， ， ， 为从小到大的 4 个解， 由偶函数的对称性可知： ， ， ， 即 故答案为：1． 由函数 知 ，所以 为偶函数，又函数 为偶函数， 且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为 ， ， ， ，所以 ， ． 考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解． 17.【答案】解： 当 时， ， ， ， 当 时， ， ， ， ， ， 是以 为首项， 为公差的等差数列， ； Ⅱ 由 得 ， ， ， ， 是递增数列， 13 ． 【解析】 Ⅰ 通过已知条件求出首项，利用 ，求解数列 的通项公式； Ⅱ 化简 ，利用裂项消项法求解数列的和即可． 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力． 18.【答案】 证明：设 F 是 PD 的中点，连接 EF、CF， 是 PA 的中点， ， ， ， ， ， ， 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， ， ， 平面 PCD， ， ； Ⅱ 由 得 平面 PCD， ， 平面 平面 PCD， 过点 P 作 ，垂足为 O， 平面 ABCD， 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 设 是平面 BDE 的一个法向量， 则 ， ， 令 ，则 ， ， ， 直线 BP 与平面 BDE 所成角的正弦值为 ． 14 【解析】 设 F 是 PD 的中点，连接 EF、CF，证明 ，推出 ，结合 ，得 到 平面 PCD，推出 ； Ⅱ 以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系 ，求出 平面 BDE 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线 BP 与平面 BDE 所成角的正弦值． 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力 以及计算能力． 19.【答案】解： 由题意得 的所有取值为 ，a， ， ，4a，其分布列为： a 4a p 的所有取值为 0， ，4a，5a， ，其分布列为： 0 4a 5a p 由 可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为： ， 该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为： ， 该公司此险种的总收益为 ， ， ， 基本保费为 a 的最小值为 100 元． 【解析】 由题意得 的所有取值为 ，a， ， ，4a， 的所有取值为 0， ，4a， 5a， ，由此能求出 和 的分布列． 由 可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一 续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本 保费为 a 的最小值． 本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能 力，是中档题． 20.【答案】解： 由题意可得 ， 当 时，设直线 ，点 A，B 的坐标分别为 ， ， 由 ，得 ， ， 过点 A 为的切线方程为 ，即 ， 过点 B 的切线方程为 ， 由 得 ， ， ， ； 当 时，则直线 ， ， ； 15 Ⅱ 当 时，设直线 l： ，点 A，B 的坐标分别为 ， ， 由 得 ， ， 过点 A 的切线方程为 ，即 ， 过点 B 的切线方程为 ， 由 ，得 ， ， ， 或 ， 抛物线 C 的方程为 或 【解析】 分两种情况讨论， 时，联立方程组求出 M 的坐标，利用斜率之积为 即可； 时，验证即可； 通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段 的方程求出 p 的值即可． 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目． 21.【答案】解： 解：函数 由题意得： ， ， 令 ， ，则 ， 令 ， ，则 ， 在 上单调递增，且 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， 0'/>， 单调递增， ， 当 时， g (0)=2-ageqslant 0'/>， 在 单 调递增，此时无极值； 当 时， ， ， 已知 ， 是函数 的两个极值点． ， ， 当 时， 0'/>， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 是 的极大值； ， ， ， ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， 0'/>， 单调递增， 是 的极小值； 综上所述， ； 16 Ⅱ 证明：法一：由 得 ， ，且 ， ， ， ， ， ， ， ． 即： ． 法二：由 得 ， 在区间 递减，所以： ． 因为： ，所以： ， 所以： 即： ． 即： 【解析】 Ⅰ 求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论 a 的取 值范围可求得 a； Ⅱ 由 得 ，且 ，表达 由不等式性质证明即可． 考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题． 22.【答案】解： Ⅰ 设 ， ， ， ， 点 M 在曲线 上， ， 曲线 的普通方程为 ，则曲线 的普通方程为 ； Ⅱ 由 ， ，得曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 由 ，得 ，或 ， 或 ； 由 ，得 ，或 ， 或 ， 17 的最大值为 ． 【解析】 Ⅰ 设 ， ，由已知向量等式可得 ，得到 ， 消参数可得曲线 的普通方程为 ，进一步得到曲线 的普通方程为 ； Ⅱ 由 ， ，得曲线 与曲线 的极坐标方程，分别与射线 联立求得 A， B 的极坐标，可得 的最大值． 本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及 其应用，是中档题． 23.【答案】解：函数 ． Ⅰ 当 时， 不等式 化为 或 或 解得 或 或 ； 所以不等式 的解集为 或 ； Ⅱ 由 ，当且仅当 时取“ ”， 所以对 ， ，使得 成立，即 ； 由 ， 时， 是单调减函数，最小值为 ； 时， 是单调减函数，且 ； 时， 是单调增函数，最小值为 ； 令 ，解得 ； 又 ，所以实数 a 的取值范围是 ． 【解析】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题， 是中档题． Ⅰ 当 时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式 的解集； 18 Ⅱ 求出 的最小值 M，再求 的最小值 N，由此列不等式 求出 a 的取值范围．