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- 2021-04-16 发布
理科数学
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若平面与平面的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定
2.如图所示空间四边形，连接，设分别是线段的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.当用反证法证明“已知，证明：”时，假设的内容应是（ ）
A． B． C． D．
4.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5.将正方形沿对角线折成直二面角，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知椭圆的焦点分别是，，点在该椭圆上，如果，那么点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．1
7.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.若双曲线：的离心率为2，则双曲线：的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9.用数学归纳法证明不等式成立，其初始值至少应取（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10.已知是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，若是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.如图，平面与平面相交成锐二面角，其大小为，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为的椭圆，则等于 .
12.已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升了米后，水面的宽度是
米.
13.在平面几何里有：设直角三角形的两直角边分别为，斜边上的高为，则. 拓展到空间：设三棱锥的三个侧棱两两垂直，其长分别为，底面上的高为，则有 .
14.如图，正方体的棱长为1. 是的中点，则下列四个命题：
①点到平面的距离是；②直线与平面所成角等于；③空间四边形在正方体六个面内的射影的面积最小值为；④直线与所成角的正弦值为.
其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.
三、解答题（本大题共5小题，共50分）
15. (本小题满分8分) 在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值.
（1）试证明上述命题；
（2）类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.
16. (本小题满分10分)已知，，.
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明.
17.如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于于点，将沿折到的位置，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.如图所示，四棱柱中，侧棱底面， ，，为棱的中点.
（1）证明：；
（2）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
19.已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，过点的直线与椭圆交于不同两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线斜率为1，求线段的长；
（3）设线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8【来源：全,品…中&高*考+网】
9
10
答案
B
D
A
A
D
B
C
A
B
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．； 12．米； 13．； 14．②③④
三、解答题：本大题共6个题，共70分．
15.（1）利用等面积进行证明即可.
由棱长为的正四面体，为的中点，在平面的射影为，为的中心，则，在中，根据勾股定理可得，正四面体的体积为，正四面体内一点到各面的距离分别为，则
，.
16.（1）当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.
（2）由（1）猜想，下面用数学归纳法给出证明.
①当时，不等式显然成立.
②假设当时不等式成立，即，那么，当时，，
因为，
所以.
由①②可知，对一切，都有成立.
17．证明：∵是菱形，∴，又，∴，则，又由是菱形，得，则，∴，则，∵，∴，又，∴，∴，则，∴，则，又，∴平面.
（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵，
∴，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得.
∴
同理可求得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
18．解：（1）证明：∵侧棱平面，平面，∴，
∵，，为棱的中点，∴则，∴,又平面，
∴平面，又平面，故.
（2）解：连结，过点作于点，可得平面.连结
，则为直线与平面所成的角.
设，从而在中，有，在中，，得.在中，，
由，得，整理得，解得（负值舍去），所以线段的长为.
19．解：（1）由椭圆右焦点为，点在椭圆上，因此，即可求椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，则，，所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；当时，，则，因此，.