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- 2021-04-16 发布
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(文)
出题人 ： 陈燕 审题人：康乐
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数满足（为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知直线与直线，则是的
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.
当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）
A. B. C. D.
5．在等比数列中，和是方程的两根，则 ( )
A． B． C． D．
6.已知向量，，且，则 ( )
A．－8 B．－6 C. 6 D．8
7.下列函数中，在内单调递减的是 ( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图象(如图所示，则 ( )
A. B.
C. D.
9.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围 A．或 B．或
C． D．
10.在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与AC所成角的余弦值为 （ ）
A． B． C． D．
11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)
13.已知实数满足，则的最大值为
14. 曲线在点处的切线方程为
15. 的内角的对边分别为．若的面积为，
则
16.已知函数，数列的通项公式为，
则 ;此数列前2019项的和为 ．
三、解答题：
17.在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若,求面积的最大值
18. 如图，直三棱柱中，
.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
0.030
0.015
0.010
频率/组距
15 25 35 45 55 65 年龄（岁）
(1) 求的值；
(2)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第2组中抽到人的概率.
20.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于
两点，求四边形面积的最大值.
21. 已知函数.
（1）若函数图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；
（2）若不等式有解，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，.
（1）求与的交点的极坐标；
（2）设点在上，，求动点的轨迹的极坐标方程.
23 选修4—5：不等式选讲
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若恒成立,求的取值范围.
.
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期中考试高三年级
数学试卷(文)答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
A
A
C
D
A
B
D
B
C
D
二、填空题：
13. 4 ; 14.
15. 16. ；2020
三、解答题：
17. (1) ；
(2)面积的最大值为
18
（1）略
（2)
19. 解：（1）由，得.
（2）平均数为；岁；
（3）第1,2, 3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为.
设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率.
20. 解：（1）设动圆的半径为，由题意知
从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.
（2）设的方程为，联立，
消去得，设点，
有有，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，有，由函数在单调递增
有，故，四边形面积的最大值为.
21. 解：
（1）∵，∴当时，取最大值，∴，∵，∴
∴此时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，∴极小值点为.
（Ⅱ）∵且.
∴在上，，单调递减，在上，
，单调递增，∴
∵关于的不等式有解，∴，∵，∴
令，∴，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
∴，∴可解得且
∴的取值范围是且.
22.（1）联立，，，交点坐标
（2）设,且，由已知得 ，点的极坐标方程为
23.(1)
(2)