- 656.00 KB
- 2021-04-16 发布
河南省天一大联考2017-2018学年高二年级阶段性测试二
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．方程表示的曲线是椭圆
C．是“数列为等比数列”的充要条件
D．若命题，则
3.设，则的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4.已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（ ）
A．15 B．8 C. D．
5.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2 B．1 C.0 D．3
6.椭圆的长轴长、短轴长和焦距按照适当的顺序排列，可构成一个等差数列，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C. 或 D．或
7.三棱柱中，平面，，，点分别是的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
8.在中，角所对的边分别为.若，则的面积
（ ）
A． B． C. D．
9.设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C. D．
10.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
11.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若,则( )
A．3 B． C.4或 D．3或4
12.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.“若，则”的逆否命题是真命题，则实数的取值范围是 .
14.在中，角所对的边分别为，若，的面积等于，则的取值范围是 .
15.在正方体中，若棱长，则点到平面的距离等于 .
16.已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，点的坐标为，则的周长最小时，点到直线的距离为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，对于任意，不等式恒成立，若薇真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18. 数列是等差数列，若.
（1）求数列的前项和；
（2）若.设数列的前项和为，求证：.
19. 在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值.
20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
21.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上.
（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同的两点,求证：直线的斜率是一个定值.
22.已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，直线与椭圆交与两点，求四边形面积的最大值.
试卷答案
一、选择题
1-5: ADCAB 6-10:CBBDC 11、12：BA
二、填空题
13. 14. 15. 16.8
三、解答题
17.【解析】当为真命题时，方程表示焦点在轴上的椭圆，.
当为真命题时，即在上恒成立，
则有在上恒成立，
而当时，，
若薇真命题，为假命题，则需命题一真一假.
若真假，则，所以；
若假真，则，所以；
综上，的取值范围是.
18. 【解析】（1）设数列的首项为，公差为，则由题意可得，
解得
所以.
（2） 由（1）可得，，
所以
，
所以.
18. 【解析】(1)由可得，
即，所以.
而，所以;
(2) 因为，所以由（1）可得 ，
即，当且仅当时，取等号，
所以,即面积的最大值为.
19. 【解析】（1）四边形是菱形，，
又平面，，且，平面
（2）设，不妨设,
易得,
所以.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设是平面的一个法向量，则
不妨令，
可得 .
而,则.
所以与平面所成角的正弦值等于
18. 【解析】（1）由已知条件，可设抛物线方程.
点在抛物线上，，得.
故所求抛物线的方程为及其准线方程是.
(2)设直线的斜率为，直线的斜率为.
则，,
,的斜率存在且倾斜角互补，.
由在抛物线上，得，
.
，.
直线直线的斜率.
19. 【解析】（1）由在椭圆上得，①
再由可得，②
而，③
由①②③联立可得.故椭圆的方程为.
（2）由题意可得，直线的方程为，即，
设，其中.
将代入中，可得，所以，
则点到直线的距离为，
同理，可得点到直线的距离为
又.
所以四边形面积.
从而，当且仅当，即时，等号成立，此时四边形的最大面积为.