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- 2021-04-16 发布
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核心素养提升练 七十一
绝对值不等式
(25分钟 40分)
1. (10分) (2018·孝义模拟)设函数f(x)=-a,若不等式f(x)<0的解集为M且
∈M,-∉M.
(1)求实数a的最大值.
(2)当a∈N*时,若不等式|x-a|-|x-3|>b有解,求实数b的取值范围.
【解析】(1)由题可知,f<0,f≥0,
可得不等式组解得1b,即|x-2|-|x-3|>b,
根据绝对值不等式的性质可知|x-2|-|x-3|的最大值为|x-2-x+3|=1,
若不等式|x-a|-|x-3|>b有解,则b<1,故实数b的取值范围为(-∞,1).
2. (10分)设f(x)=|x-a|+|x-2|,其中a<2,已知f(x)的图象关于直线x=对称.
(1)求a的值,并作出函数f(x)的图象.
(2)是否存在实数m使得不等式f(x)0时,解得a=1;当a<0时,无解;故a=1.
所以f(x)=函数f(x)的图象如图所示:
(2)令g(x)=m(x2-4x),则g(x)关于直线x=2对称,当m≥0时,g(2)=-4m<01,所以x≥2.
综上所述,f(x)≥1的解集为[1,+∞).
(2)原式等价于存在x∈R,使f(x)-x2+x≥m成立,即≥m.
设g(x)=f(x)-x2+x,
由(1)知g(x)=
当x≤-1时,g(x)=-x2+x-3,
其开口向下,对称轴为x=>-1,
所以g(x)≤g=-5.
当-1,当x<0时,1->1,
所以h(x)=(x≠0)的最小值为,
从而得到a的取值范围为.
【变式备选】已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.
(1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集.
(2)设k>-1,且当x∈时都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.
【解析】(1)当k=-3时,
f(x)=
故不等式f(x)≥4可化为或或
解得x≤0或x≥.
所以不等式的解集为.
(2)当x∈时,由k>-1有:
3x-1<0,3x+k≥0,所以f(x)=1+k,
不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,
故k≤x+3对x∈恒成立,
即k≤-+3,解得k≤,而k>-1,
故-1
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