2015年高考真题——数学（江苏卷） 解析版 14页

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 I 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_______. 解析： ，故答案 5 2.已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 解析： ，故答案 6 3.设复数 z 满足 （i 是虚数单位），则 z 的模为_______. 解析：设 z=a+bi,，则 化为 ，所以 解得 ，所以 z 的模为 ，故答案 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________. 解析：第一次：S=1+2=3，I=1+3=4；第二次：S=3+2=5，I=4+3=7；第三次：S=5+2=7，I=7+3=10； 因为 10>8，所以程序结束，故 S=7 5.袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只 球，则这 2 只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量 ， ，若 ，则 m-n 的值为______. 解析：因为 ，所以 ，所以 7.不等式 的解集为________. 解析：因为 ，所以 ，故解析为 8.已知 ， ，则 的值为_______.  1 2 3A  ，，  2 4 5B  ，， A B  5,4,3,2,1 BA 66 678564  2 3 4z i    ibia 432  iabiba 43222       42 322 ab ba      1 4 2 2 b a 522  ba 5 S←1 I←1 While I<8 S←S+2 I←I+3 End While Print S  2 1a  ，  2-1，b   Rnmbnam  ,89，   Rnmbnam  ,89，      82 92 nm nm 35 2       nmn m ， 2 2 4x x  2 2 4x x     21021022 22  xxxxxxx ，，，  21， tan 2     1tan 7   tan  解析： ，故答案 3 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个。若将它们 重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 解析：设新的底面半径为 r，原来的总体积为 ，新 的总体积为 ，所以 10.在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆 中，半径最大的圆的标准方程为 解析：圆心到直线的距离为 d= ①当 m=0 时，d=1；当 m 时， ；②当 m<0 时， 所以 ；③当 m>0 时， ，所以 ，综上 ，因为圆与直线相 切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以圆的半径最大为 ，所以圆的标准方程为 11.数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前 10 项和为 解析：累加法 ， 则 ，所以 = 12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 为 双 曲 线 右 支 上 的 一 个 动 点 。 若 点 到 直 线 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为        3 7 5 7 15 27 11 27 1 tantan1 tantantantan        3 196 3 9610082453 1 22   3 28843 1 2 22 rrr   73 28 3 196 2  rr ，解得， xOy )0,1( )(012 Rmmymx  1 211 12 1 1 1 12 22 2 22       m m m mm m m m mm 0 mm d 1 21   21  mm 10  d 21  mm 21  d 20  d 2   21 22  yx }{ na 11 a 11  naa nn *Nn }1{ na       2 1211121   nnnaaaaaa nnn          1 1121 21 nnnnan       11 1 10 1 3 1 2 1 2 112111 1021  aaa 11 20 11 112       xOy P 122  yx P 01 yx 解析：双曲线的一条渐近线方程为 x-y=0，显然渐近线方程 x-y=0 与直线方程 x-y+1=0 平行，要使得 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立，也就是 c 的最大值要比点 P 到直线 x-y+1 的距离的最小 值要小，根据图象显然可知 c 的最大值就是渐近线方程 x-y=0 与直线方程 x-y+1=0 的距离， 即 13.已知函数 ， ，则方程 实根的个数为 解析： 实根的个数转化为函数 图象交点的 个数，图象如下： 根据图象可知，有 4 个交点，故答案 4 14.设向量 ，则 的值为 解 析 ： = = = = 二、解答题，本部分共 6 大题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明，证 明过程或演算步骤 15. （本小题满分 14 分） 在 中，已知 2 2 11 10 22max   c |ln|)( xxf       1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg 1|)()(|  xgxf 1|)()(|  xgxf     1 xfxg     1 xfxg 与 )12,,2,1,0)(6cos6sin,6(cos  kkkkak      11 0 1 k kk aa                        6cos6sin6cos6 kkkak ，       6cos6sin6cos  kkk ， ka   12111110109988776655443322110 11 0 1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa k kk    6554433221106554432110 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa    392 655443322110  aaaaaaaaaaaa ABC 2, 3, 60 .AB AC A   o D E C B B1 A1 C1 A （1）求 BC 的长； （2）求 的值。 解析：设 AB=c，AC=b，BC=a （1） ，所以 BC= （2） 16. （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 中，已知 .设 的中点为 D， 求证：（1） (2) 证明：（1）∵直三棱柱 ∴四边形 是矩形 ∴E 是 的中点 ∵D 是 的中点 ∴ ∵ ∴ （2）∵ ，四边形 是矩形 ∴四边形 是正方形 sin2C 72 123249cos2222  Abccba 7,0  aa 7 7 21sinsin 2 2 3 7 sinsin  CCC c A a ，，   60,0,,  CCAca 7 72 7 31sin1cos 2  CC 7 34 7 72 7 212cossin22sin  CCC 1 1 1ABC A B C 1,AC BC BC CC  1AB 1 1 .B C BC E  CCAADE 11// 平面 1 1BC AB 1 1 1ABC A B C CCBB 11 CB1 1AB ACDE // CCAAACCCAADE 1111 平面，平面  CCAADE 11// 平面 1CCBC  CCBB 11 CCBB 11 ∴ ∵直三棱柱 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 17.（本小题满分 14 分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条 公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公 路为 ，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 CBBC 11  1 1 1ABC A B C ABCCC 平面1 ABCAC 平面 ACCC 1 CCBBCCBCCCCBCACBC 1111 平面，，，  CCBBAC 11平面 CCBBBC 111 平面 CBAC 1 CACCBCABACCBBCCB  11111 ，平面，， CABBC 11 平面 CABAB 11 平面 1 1BC AB 1 2l l， l 1 2l l， 1 2l l， 12 ,ll l2 l1 O x y M N C P l O P C B x y F A xOy，假设曲线 C 符合函数 （其中 a，b 为常数）模型. （I）求 a，b 的值； （II）设公路 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t. ①请写出公路 长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当 t 为何值时，公路 的长度最短？求出最短长度. 解析：（1）根据题意知 所以 （2）①由（1）知 ，设 所以直线 l 的方程为 当 x=0 时， ；当 y=0 时， ；则 ，定义域为 ②取 ， t - 0 + 减 625 增 由表格可知，当 时， 有最小值，最小值为 18.（本小题满分 16 分） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 的离心率为 ，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分 线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程. （1）因为右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3 2 ay x b  l l  f t l    5,,20405 ，，， NM             0 1000 4005.2 2540 b a b a b a ，解得 2 1000 xy       2 1000 ttP ， 33 2000-2000 tlxy 的斜率为，则直线  txtty  32 20001000 2 3000 ty  2 t3x   4 2 9000000 4 9 t ttf   205，     036000000 2 99000000 4 9 54 2  tttgt ttg ， 210t  2105， 210  20210 ，  xg  xg 210t  tf 315675    2 2 2 2 1 0x y a ba b    2 2 所以 ① 因为离心率为 ，所以 ② 由①②可得， 所以 所以椭圆的标准方程为 （2）①当直线 AB 斜率不存在，则直线 AB 方程为 ，直线 PC 方程为 易求 ，所以 PC 2AB 与题意矛盾，所以不符合题意 ②当直线 AB 斜率存在，设 AB 的方程为 设 所以 ，所以 AB= 则 所以 因为 ，所以 PC 的方程可设为 当 x=-2 时， ，所以 P 则 PC= 因为 PC=2AB，所以 =2 解得， 所以直线 AB 的方程为 3 2  cc a 2 2 2 2a c 12  ca ， 1b 12 2 2  yx 1x 0y 23  ABPC ，   1 xky    2211 yxByxA ，，，     022421 1 12 2222 2 2       kxkxk xky yx 2 2 212 2 11 21 22 21 4 k kxxk kxx   ，   2 2 21 2 21 1221 k kxxk   221 21 2 k kyy            22 2 2121 2 k k k kC ， ABPC         2 2 2 21 21 21 k kxkk ky  2 2 21 25 kk ky            2 2 21 252 kk k，    2 22 21 126 kk kk      2 22 21 126 kk kk     2 2 21 122 k k   1k 0101  yxyx 或 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数 c 是与 a 与无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a 的取值范围 恰好是 ，求 c 的值 解析：（1） ，解得 ①当 a=0 时， 所以 f（x）在 R 上是增函数 ②当 时 x + - + 增 减 增 由表格可知，f（x）的增区间为 ， ；减区间为 ③当 时 x + - + 增 减 增 由表格可知，f（x）的增区间为 ， ；减区间为 综上，当 a=0 时，f（x）在 R 上是增函数 当 时，f（x）的增区间为 ， ；减区间为 当 时，f（x）的增区间为 ， ；减区间为 （2）因为 b=c-a，所以 ),()( 23 Rbabaxxxf  )(xf acb  )(xf ),2 3()2 3,1()3,(     023 2  axxxf 3 20 axx  ，   0 xf 0a       3 2a，      03 2 ，a  ，0  xf   xf       3 2a，  ，0      03 2 ，a 0a  0，       3 20 a，       ， 3 2a  xf   xf  0，       ， 3 2a       3 20 a， 0a       3 2a，  ，0      03 2 ，a 0a  0，       ， 3 2a       3 20 a，   acaxxxf  23   axxxf 23 2  由（1）可知，当 时， f（x）的增区间为 ， ；减区间为 所以 f(x)的极大值为 ，极小值为 因为函数 有三个不同的零点，所以满足 同理，当 时，满足 综上可知， 的解集为 所以 有一个根为 把 带入 ，可解的 所以 c 的值为 1 20. （本小题满分 16 分） 设 是各项为正数且公差为 d 的等差数列 （1）证明： 依次成等比数列 （2）是否存在 ，使得 依次成等比数列?并说明理由; （3）是否存在 及正整数 ，使得 依次成等比数列，并说明理由 解析：（1） 同理，           ，， 2 3 2 31a       3 2a，  ，0      03 2 ，a acaaf      27 4 3 2 3   acxf  )(xf      0 027 4 3 ac aca  3 ，a      0 027 4 3 ac aca   027 4 3        acaca             ，，， 2 3 2 313   027 4 3        acaca 2 3a 2 3a   027 4 3        acaca 1c 1 2 3 4, , ,a a a a ( 0)d  31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 1,a d 2 3 4 1 2 3 4, , ,a a a a 1,a d ,n k 3 5 1 2 3 4, , ,n n k n k n ka a a a   daa a a 22 2 2 12 1 2   d a a a a 2 2 2 2 2 3 4 2 3  D O A B C E 所以 是以 为公比的等比数列（即证） （2）假设存在 则可得 ，即 化简可得 ，所以 所以得到 （与 矛盾），所以不存在 （3）省略 数学 II（附加卷） 21、【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多 做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图，在 中， ， 的外接圆⊙O 的弦 交 于点 D 求证： ～ 解析：证明：∵AB=AC ∴ ∵ = ∴ ∴ ∵ ∴ ～ 31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a d2      4 4 2 2 6 3 3 31 4 2 aaa aaa              2 11 3 1 3 11 4 1 32 2 dadada daada        03 232 2 1 2 1 2 1 2 11 3 ddaa ddaaad 12ad  0d 0d   ABC ACAB  ABC AE BC ABD AEB CABC   AB  AB CE  EABC  EABBAD  ABD AEB B、 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知 ，向量 是矩阵 的属性特征值 的一个特征向量，矩阵 以及它 的另一个特征值。 解析：由 可得 ，化简得， 所以 所以特征多项式为 ，解得， 所以另一个特征值为 C、[选修 4-4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 已知圆 C 的极坐标方程为 ，求圆 C 的半径. 解析： 所以圆 C 的半径为 D、[选修 4-5：不等式选讲] （本小题满分 10 分）   Ryx ,      1 1      0 1 y xA 2 A aaA               1 121 1 0 1 y x           2 1 2 21 y x y x ，      02 11A     021  f 21   ， 1 2 2 2 sin( ) 4 04       04cos2sin2 04cos2 2sin2 222           042222  xyyx     611 22  yx 6 z x y 解不等式 解析：①当 时 所以 ②当 时 所以 综上，不等式的解集为 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证 明过程或演算步骤 22.如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形， , （1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值； （2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系 易知，A(0，0，0)，P（0,0,2），B（1,0,0），C（1,1,0），D（0,2,0） 平面 PAB 的法向量易知 设平面 PCD 的法向量为 ∴ ∴ | 2 3| 3x x   2 3x 0332  xxx ，解得 0x 2 3x 6332  xxx ，解得 6x     ，， 06 P ABCD PA  ABCD ABCD 2ABC BAD     2, 1PA AD AB BC    PAB PCD  0,101 ，n  zyxn ,,2  22 nPDnPC  ，   )2,2,0(2,1,1  PDPC ，      022 02 zy zyx ∴ ∴ 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角为 ，显然 是锐角 则 （2）在平面 xoz 平面中，设 BP 的直线方程为 ，所以 设 Q 设直线 CQ 与 DP 所成的角为 取 当 时， ，所以 为增函数 当 时， ，所以 为减函数 所以 在 上取最大值，即 最小 此时 Q ，所以 BQ= 23.已知集合 ，设 ， 令 表示集合 所含元素个数. 1:1:1:: zyx )1,1,1(2 n   3 3 31 1coscos 21 21 21    nn nnnn ， bkxz            2 2 2 0 b k b bk ， 22  xz   10220  ttt ，， )2-20()2211( ，，，，，  DPttCQ      122010 32 1220102 64 4402211 442cos 2222       tt t tt t tt t DPCQ DPCQ 122010 9124 2 2   tt tt         222 2 122010 35324 122010 9124     tt tttgtt tttg ，      5 3,0t   0 xg        5 30，在tg      15 3，t   0 xg        15 3，在tg  tg 5 3x       5 405 3 ，， 5 52 25 20 25 16025 4  *{1,2,3}, {1,2,3, , }( )nX Y n n N   {( , ) | , , }n nS a b a a a X b Y  整除b或除 ( )f n nS （1）写出 的值； （2）当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明。 解析：（1） =11 （2） 证明省略 (6)f 6n  ( )f n (6)f                                  566 711 )46(6 211 366 311 266 411 166 511 )6(6 11 knn knn knn knn knn knn nf   Nk