2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版） 18页

2018-2019 学年江西省南昌市第二中学高二上学期第三次月 考数学（理）试题 一、单选题 1．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】此题考查极坐标方程的知识 答案 B 点评：通过极坐标的公式就可以直接转化 2．曲线 y=ex 在点 A（0，1）处的切线斜率为（ ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】A 【解析】试题分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标 x=0 代入，求 出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率． 解：由 y=ex，得到 y′=ex， 把 x=0 代入得：y′（0）=e0=1， 则曲线 y=ex 在点 A（0，1）处的切线斜率为 1． 故选 A． 【考点】直线的斜率；导数的几何意义． 3．下列结论错误的是 （ ） A．若“ 且 ”与“ 或 ”均为假命题，则 真 假. B．命题“存在 ”的否定是“对任意 ” C．“ ”是“ ”的充分不必要条件. D．“若 则 a0 两种情况讨论函数的单调性，由单调性 确定函数的最值. 【详解】 ＝3x2－3a＝3(x2－a), 当 a≤0 时， ＞0， ∴f (x)在(0，1)内单调递增，无最小值. 当 a＞0 时， ＝3(x－ )(x＋ ), 当 x＞ ，f（x）为增函数，当 0＜x＜ 时， f（x）为减函数， ∴f（x）在 x＝ 处取得最小值， ∴ ＜1，即 0＜a＜1 时，f (x)在(0，1)内有最小值. 故选：D． 【点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性,进而研究函数最值，属于常考题型. 7．等比数列 中， ， ，函数 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 8．已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 交双曲线的渐近线于 两 点，且直线 的倾斜角是渐近线 倾斜角的 2 倍，若 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出直线 l 的方程为 y （x﹣c），与 y＝± x 联立，可得 A，B 的纵坐 标，利用 ，求出 a，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】 双曲线 1（a＞b＞0）的渐近线方程为 y＝± x， ∵直线 l 的倾斜角是渐近线 OA 倾斜角的 2 倍， ∴kl ， ∴直线 l 的方程为 y （x﹣c）， 与 y＝± x 联立，可得 y 或 y ， ∵ ， ∴ 2• ， ∴a b， ∴c＝2b， ∴e ． 故选 B． 【点睛】 本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 9．已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近 线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点．若 恰好将线段 三等分，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：依题意可得椭圆的焦点坐标为 ，以 的长轴为直径的圆的 圆心为原点半径长为 ，则圆方程为 。双曲线 的渐近线方程为 ，即 。不妨设直线 与圆 相交于点 ，直线 与椭圆 交 与 点 ， 则 有 。 联 立 可 得 ，解得 ，所以 ，解得 （舍）或 ，则 ，故选 D． 【考点】1 椭圆的简单性质；2．圆锥曲线的综合． 【思路点睛】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为 ，根据对称性易知 为圆的 直径且 ，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程 ；设 与 在第一 象限的交点的坐标为 ，代入 的方程得： ；对称性知直线 被 截 得的弦长为 ，根据 C1 恰好将线段 AB 三等分得： ，从而可解出 的 值，故可得结论． 10．已知函数 ，若对 ，使得 ，则实数 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 得 ， 进 而 得 到 对 恒成立，然后转化为 在 上恒成立，利用分离参数的方法 求解即可． 【详解】 ∵ ， ∴ ， 由题意得 在 上恒成立， ∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 而 在 上单调递增， ∴ ， ∴ ， ∴实数 m 的取值范围为 ． 故选 B． 【点睛】 解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即如果欲求范围的参数能够分离到不等式的 一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时 参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立时，应有 a≤f(x)min． 11．已知函数 ，则“b > 2a”是“f (－2) < 0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用 f（1）＝0 得 a，b，c 的关系，将“ ”用 a，b 表示，根据充要条 件的定义判断得出结论. 【详解】 ∵f（1）＝0∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b， ∵ ⇔4a﹣2b+c＜0⇔3a﹣3b＜0⇔a﹣b＜0⇔b＞a ∵a＞0∴2a＞a ∴b＞2a⇒b＞a 即 b＞2a⇒ ＜0 但 b＞a 成立推不出 b＞2a， 所以“b＞2a”是“ ”的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】 充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若 则 ”，“若 则 ”的真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为 真，则 是 的充分条件． 2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若 ⊆ ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ＝ ，则 是 的充要条 件． 12．设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得 0，则 的取值范围是（ ） （A）[- ，1） （B）[- ， ） （C）[ ， ） （D）[ ，1） 【答案】D 【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在 直线 的下方. 因为 ，所以当 时， ＜0，当 时， ＞0，所 以当 时， = ， 当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ，且 ，解得 ≤ ＜1，故选 D. 【考点】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 二、填空题 13 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线 与 的 交 点 的 极 坐 标 为 ____________. 【答案】 【解析】将 ρ=2sinθ 代入 ρcosθ=﹣1 消去 ρ，可得 sin2θ=﹣1，通过讨论进一步缩 小 θ 的范围，即可求出 θ 的值，再代入任意一个方程即可求出 ρ 的值． 【详解】 将 ρ=2sinθ 代入 ρcosθ=﹣1，得 2sinθcosθ=﹣1，∴sin2θ=﹣1． ( )f x (2 1)xe x ax a− − + 0x 0( )f x a 3 2e 3 2e 3 4 3 2e 3 4 3 2e ( )g x (2 1)xe x − y ax a= − 0x 0( )g x y ax a= − ( ) (2 1)xg x e x′ = + 1 2x < − ( )g x′ 1 2x > − ( )g x′ 1 2x = − max[ ( )]g x 1 2-2e − 0x = (0)g (1) 3 0g e= > y ax a= − a (0) 1a g− > = − 1( 1) 3g e a a−− = − ≥ − − 3 2e a ∵0≤θ≤2π，及 sinθ≥0，cosθ≤0，∴ ，∴π≤2θ≤2π，∴2θ= ，∴ ． 将 代入 ρ=2sinθ，得 ρ= = ． 故曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=﹣1 的交点的极坐标为（ ， ）． 故答案为： 【点睛】 本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标，可直接代入计算出，亦可先化为普 通方程求出其交点坐标，然后再化为极坐标． 14．设函数 ，则函数 在 上的最小值为____ 【答案】 【解析】求出函数 f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而 求出 f（x）的最小值即可． 【详解】 f（x）＝lnx+x2，f′（x） 2x ， x∈[1，e]，故 f′（x）＞0 在[1，e]恒成立， 故 f（x）在[1，e]递增， f（x）的最小值是 f（1）＝1， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 15．若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦点，点 为双曲线右支 上的任意一点，则 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】先根据双曲线的焦点和方程中的 b 求得 a，则双曲线的方程可得到，设出点 P， 代入双曲线方程求得 y0 的表达式，根据 P，F，O 的坐标表示出 ，进而求得 的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则 的取值范围可得． 【详解】 因为 F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点， 所以 a2+1＝4，即 a2＝3，所以双曲线方程为 ， 设点 P（x0，y0）， 则有 ，解得 ， 因为 ， ， 所以 x0（x0+2） ， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ， 因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ， 故 的取值范围是 ， 故答案为 ． 【点睛】 本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单 调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能 力． 16．设 a,b,c 是△ABC 的三边,P: , Q:方程 x2 +2ax+b2 = 0 与方程 x2 +2cx－b2 = 0 有公共根. 则 P 是 Q 的_____.(填：充分不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既 不充分也不必要条件) 【答案】充要条件 【解析】要从充分性和必要性两个方面进行分析，充分性，即假设 A＝90°成立判断两 个方程是否有公共根，必要性，设两个方程公共根为 m，判断 A＝90°是否成立，分析 两个方面即可得结论． 【详解】 充分性：当 A＝90°时，a2＝b2+c2． 于是 x2+2ax+b2＝0⇔x2+2ax+a2﹣c2＝0⇔[x+（a+c）][x+（a﹣c）]＝0， 该方程有两根 x1＝﹣（a+c），x2＝﹣（a﹣c）． 同样，x2+2cx﹣b2＝0⇔[x+（c+a）][x+（c﹣a）]＝0， 该方程亦有两根 x3＝﹣（c+a），x4＝﹣（c﹣a）． 显然 x1＝x3，两方程有公共根，即充分性成立； 必要性：设方程 x2+2ax+b2＝0 与 x2+2cx﹣b2＝0 的公共根为 m， 则 （1）+（2）得 m＝﹣（a+c）．（m＝0 舍去）． 将 m＝﹣（a+c）代入（1）式，得[﹣（a+c）]2+2a•[﹣（a+c）]+b2＝0， 整理得 a2＝b2+c2．所以 A＝90°，即必要性成立； 故答案为：充要条件. 【点睛】 本题考查充要条件的判断，有关充要条件判断问题，要从充分性和必要性两个方面分别 进行分析． 三、解答题 17．已知函数 ． （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】（1）先求得函数在 处的导数，再利用点斜式写出切线方程.（2）对函数 求导后，利用分离常数发，转化为 ，再利用单调性求得 的最大值，由此求 得 的的取值范围. 【详解】 （1）依题意， ， ， 故 ，而 ， 故所求切线方程为 ，即 ； （2）依题意， ，则 ； 由 在区间 上是增函数， 则 对于 1≤ ≤3 恒成立，所以 ； 因 ，故 ，记 ，则 ， 而函数 在 上为减函数，则 ，所以 4； 故实数 的取值范围是 . 【点睛】 本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用函数导数，根据题目所给函 数单调性，求参数的取值范围的题目.利用导数求切线方程的关键点有两个，一个是切 点的坐标，另一个是切点处的斜率，也即是 ，求得这个斜率后，利用点斜式可求得 切线方程. 18．设 p：不等式 有解；q：函数 在 R 上有极值.求 使命题“p 或 q”为真的实数 m 的取值范围. 【答案】 【解析】对 p：解不等式得到集合 A,对 q:已知函数有极值需导函数的判别式 Δ>0，得 集合 B，要使 p 或 q 为真，求两个集合的并集即可.或者先求命题 p,q 全为假时 m 的范围， 然后取补集即可. 【详解】 p: A={m| 或 } q:由函数 在 R 上有极值， ，只需△>0. 由△＞0，得 B={m|m＜－1 或 m＞4}. 要使“p 或 q”为真命题，则 p,q 中至少有一个为真, 若 p,q 全为假,则 解得， 的取值范围为 【点睛】 解决此类问题时，一般先将两个命题为真命题的条件求出来，再根据复合命题的真值表 进行判断，如果某个命题为假命题，则取补集即可. 19．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 的极坐标方程； (2)若直线 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 与曲线 的交点 为 ， ， ，求 的面积. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析： （1）由题意可得 C 的普通方程 ，极坐标方程为 . （ 2 ） 由 题 意 可 得 ， ， △OMN 为 直 角 三 角 形 ， 则 . 试题解析： （1）由参数方程 ，得普通方程 ， 所以极坐标方程 ，即 . （2）直线 与曲线 的交点为 ，得 ， 又直线 与曲线 的交点为 ，得 ， 且 ，所以 . 20．已知函数 , 在 时取得极值. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求证：当 时， . 【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ；（2）详见解析. 【解析】（1） 在 时取得极值，则 ，从而可得 a 值和函数解析式，求导， 解不等式 和 ，即可确定 f（x）的单调区间；（2）构造函数 g（x）＝ ，对函数求导，判断函数单调性，通过单调性易得 g（x）＞0 恒成立，进 而得到结论． 【详解】 (1)f′(x)＝x－ ，因为 x＝2 是一个极值点，所以 2－ ＝0.所以 a＝4. 此时 f′(x)＝ ＝ ＝ . 因为 f(x)的定义域是{x|x>0}， 所以当 02 时，f′(x)>0.所以当 a＝4 时，x＝2 是 f(x)的极 小值点．即增区间为 ，减区间为 . (2)证明：设 g(x)＝ x3－ x2－lnx，则 g′(x)＝2x2－x－ ， 因为当 x>1 时，g′(x)＝ >0，所以 g(x)在(1，＋∞)上是增函数． 所以 g(x)>g(1)＝ >0.所以当 x>1 时， x2＋lnx< x3. 【点睛】 本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数单调性和函数最值问 题． 21．已知椭圆 的左右两个焦点为 ，离心率为 ，过点 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设直线 与椭圆 C 相交于 两点，椭圆的左顶点为 ，连接 并 延 长 交 直 线 于 两 点 ， 分 别 为 的 纵 坐 标 ， 且 满 足 .求证：直线 过定点. 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】（1）由离心率 e＝ 和椭圆过点（ ，1）得 a，b，c 关系，解方程组，即 可得到 a，b，从而求出椭圆方程；（2）联立直线 l 方程和椭圆方程，得到关于 x 的二 次方程，由判别式大于 0，运用韦达定理，将已知条件化简整理，可得 k，m 的等量关 系，结合直线 l 的方程，即可判断直线恒过的定点． 【详解】 （1）由 , 过点 解得 ， ，故椭圆 C 的方程为 . （2）联立 消去 y， 得 ， 则 ， 又 、 ， 设直线 MA： ，则 ，同理 ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 即 . ∴ ∴ ，故 . 故直线 方程为 ，可知该直线过定点 ． 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线与椭圆的位置关系以及过定点问题，解决过定点 问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等 量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定 点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 22．已知函数 （1）若函数 的图像在公共点 P 处有相同的切线，求实数 m 的值和 P 的 坐标； （2）若函数 的图像有两个不同的交点 M、N，求实数 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，过线段 MN 的中点作 x 轴的垂线分别与 的图像和 的图象 交于 S、T 点，以 S 点为切点作 以 T 为切点作 的切线 ，是否存在实数 m，使得 ？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，请说明理由。 【答案】（1） ；（2） ；（3）不存在，理由见解析. 【解析】（1）设两图象公共点 P（x0，y0），P 的坐标满足 f（x）和 g（x）解析式得到关 系式①，又在点 P 处有共同的切线得到关系式②，②和①联立求解即可.（2） 有两个交点转为 有两个解,利用变量分求解即可;（3）利 用反证法即可得到证明. 【详解】 解：（1）设函数 则有 ① 又在点 P 处有共同的切线, ② ②代入①，得 设 所以，函数 最多只有 1 个零点，观察得 此时，点 P（1，0）. （2）有两个交点即方程 有两个解, 即 在(0,+∞)上有两个解. 设 h(x)= ,∴ , ∴x=1 易知 x=1 为极大值点,且 h(x)>0,且以 x 轴为渐近线 ∴0