2018-2019学年湖南省常德市高二下学期期中数学（理）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年湖南省常德市高二下学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．若命题“”为假，且“”为假，则 A．或为假 B．真 C．假 D．不能判断的真假 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.‎ ‎【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.‎ ‎2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )‎ A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-3‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.‎ 故答案为：D ‎3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意可假设，，即，两边同时平方并化简整理得，再进行一次平方并化简整理得，即点在横轴上，但是，所以点只能是横轴的右侧的一部分，即一条射线，端点为．所以本题的正确选项为C．‎ ‎【考点】求动点的轨迹．‎ ‎【易错点睛】在解答本题时，很容易直接利用双曲线的定义：到两定点的距离之差为定值的动点的轨迹，直接得出轨迹为双曲线的一支；但是当距离之差等于两定点的距离时，动点的轨迹不再是曲线，因为当动点与两定点不在一条直线上时，三点可围成三角形，根据三角形三边关系可知，两距离之差始终小与这个定值，也就是说三点式共线的，且是一条射线．‎ ‎4．从某鱼池中捕得130条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数大约为( )‎ A．1000 B．1200 C．130 D．1300‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据样本中带记号的鱼所占的比例等于总体中带记号鱼所占的比例，即可计算出鱼池中鱼的总条数.‎ ‎【详解】‎ 设鱼池中鱼的条数为，‎ 因为捕捞的条鱼中带记号的有条，所以样本中带记号的鱼所占的比例是，‎ 因为总体中有条鱼带有记号，所以，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据样本的频率分布与总体的频率布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致.‎ ‎5．有五条线段长度分别为，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一三角形的概率 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 从五条线段中任取三条共有种可能，‎ 其中能构成三角形的有，，三种可能，‎ 故所取三条线段能构成一个三角形的概率为,‎ 故选B 由题意知本题是一个古典概型.‎ ‎6．已知随机变量服从正态分布，且，则 ‎（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵随机变量服从正态分布，‎ ‎，即对称轴是，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎7．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据正相关，得到中的正负，再根据线性回归方程过样本点的中心即可判断满足的线性回归方程.‎ ‎【详解】‎ 因为变量与正相关，所以，排除CD，‎ 又因为样本平均数，，所以代入数据AB中只有A符合. 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的相关内容，难度较易.线性回归方程一定会过样本点的中心.‎ ‎8．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据互斥事件和对立事件的定义，依次判定，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 对于A：事件“至少有一个黑球”与“都是黑球” ，这两个事件可能同时发生，所以不正确；‎ 对于B中：“至少有一个黑球”与“都是红球”这两个事件是互斥事件又是对立事件，所以不正确；‎ 对于C中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，所以不正确；‎ 对于D中，“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”不能同时发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念及其应用，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．有下述说法：①：是的充要条件.‎ ‎②：是的充要条件.‎ ‎③：是的充要条件。则其中正确的说法有( )‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎①:：,‎ 显然是的充要条件是错误的；‎ ‎②：,‎ 显然是的充要条件是错误的；‎ ‎③：因为函数是实数集上的增函数,所以有：‎ ‎,故本说法是正确的,‎ 故选：B ‎10．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）‎ A．90 B．15 C．36 D．20‎ ‎【答案】A ‎【解析】第一步先将本书分成三组每组两本，是平均分组问题，然后再将三组书本分给甲、乙、丙三人是排列问题，由此计算出总的分法数.‎ ‎【详解】‎ 将本不同的书分成三组的方法数：，‎ 将三组书本分给甲、乙、丙三人的方法数：，‎ 所以总的分法数为：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的平均分组问题，难度一般.计数原理的组合问题中，计算平均分组问题时，若有个组对应的元素个数相同，计算方法数时应在对应的组合数的算式后要除以的全排列.‎ ‎11．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，‎ 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，‎ 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，‎ 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，‎ 由图可知所求的概率为：=‎ ‎12．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．‎ 二、填空题 ‎13．在张卡片上分别写有数字然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被或整除的概率是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先计算出五位数的总的个数，然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率即可.‎ ‎【详解】‎ 因为五位数的总个数为：，能被或整除的五位数的个数为：，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合在数字个数问题方面的应用，难度一般.涉及到不同数字组成的几位数个数问题时，若要求数字不重复，可以通过排列数去计算相应几位数的个数.‎ ‎14．椭圆上一点与椭圆两焦点、的连线的夹角为直角，则的面积为 . ‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】试题分析：由已知，又，所以，．‎ ‎【考点】椭圆的定义．‎ ‎15．若，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据计算出的值，再根据计算出的值，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 当时，，即，‎ 当时，，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理中的求展开式的各项系数之和，难度一般.计算中的值时，可令得到结果；计算的值时，可令得到结果.‎ ‎16． 已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】命题,可得，命题，可得 , 结合与为真命题求交集可得结果.‎ ‎【详解】‎ 命题,，‎ 命题，‎ ‎ , ‎ 解得或，‎ 又，为真命题，，解得或，‎ 故的取值范国是或，故答案为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题、不等式的解法、逻辑联接词的应用，考查了推理能力,特称命题与全称命题，意在考查转化与化归思想以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．如图，从参加环保知识竞赛的1200名学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：‎ ‎（1）这一组的频数、频率分别是多少？‎ ‎（2）估计这次环保知识竞赛的及格率。（分及以上为及格）‎ ‎（3）若准备取成绩最好的300名发奖，则获奖的最低分数约为多少？‎ ‎【答案】（1）频数15 频率0.25；（2）；（2）82分 ‎【解析】（1）根据表中数据先计算出频率，然后再利用乘以对应频率即可得到频数；‎ ‎（2）根据图表计算出样本中的及格率，然后用样本估计总体即可得到这次环保知识竞赛的及格率；‎ ‎（3）首先分析获奖的最低分数所在区间，然后利用所在区间中此最低分数前面的数据所占的比例乘以对应的区间长度，从而可求出最低分数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）频率为：，频数为：；‎ ‎（2）根据频率分布直方图可知，分及以上对应的频率为，‎ 用样本估计总体可知，估计这次环保知识竞赛的及格率为；‎ ‎（3）因为有：人，有人，‎ 所以最低分数所在区间为，且中获奖的有人，所占区间总人数的比例为，‎ 所以最低分数为：分.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，难度一般.（1）利用频率分布直方图读取信息时，注意纵轴表示的是频率除以组距的值，不是频率的值；（2）本例中的求解最低分数和利用频率分布直方图求中位数的思想方法一样.‎ ‎18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A、B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区： ‎ ‎62 ‎ ‎73 ‎ ‎81 ‎ ‎92 ‎ ‎95 ‎ ‎85 ‎ ‎74 ‎ ‎64 ‎ ‎53 ‎ ‎76 ‎ ‎ ‎ ‎78 ‎ ‎86 ‎ ‎95 ‎ ‎66 ‎ ‎97 ‎ ‎78 ‎ ‎88 ‎ ‎82 ‎ ‎76 ‎ ‎89 ‎ B地区： ‎ ‎73 ‎ ‎83 ‎ ‎62 ‎ ‎51 ‎ ‎91 ‎ ‎46 ‎ ‎53 ‎ ‎73 ‎ ‎64 ‎ ‎82 ‎ ‎ ‎ ‎93 ‎ ‎48 ‎ ‎95 ‎ ‎81 ‎ ‎74 ‎ ‎56 ‎ ‎54 ‎ ‎76 ‎ ‎65 ‎ ‎79 ‎ ‎（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 ‎ 低于70分 ‎ ‎70分到89分 ‎ 不低于90分 ‎ 满意度等级 ‎ 不满意 ‎ 满意 ‎ 非常满意 ‎ ‎ ‎ 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。‎ ‎【答案】 （1）见解析 （2）0.48‎ ‎【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎（Ⅱ）记表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；‎ 表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；‎ 表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；‎ 表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．‎ 则与独立， 与独立， 与互斥， ．‎ ‎ ．‎ 由所给数据得， ， ， 发生的概率分别为， ， ， ．故 ，‎ ‎ ， ， ，故．‎ ‎【考点】1、茎叶图和特征数；2、互斥事件和独立事件．‎ ‎19．已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据命题和的真假性，逐个判断.‎ ‎【详解】‎ 因为假，并且为真，故假，而真 即不存在两个不等的负根，且无实根.‎ 所以，即，‎ 当时，不存在两个不等的负根，‎ 当时，存在两个不等的负根.‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】‎ 此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.‎ ‎20．已知展开式的二项式系数的和比展开式的二项式系数的和大128.‎ ‎（1）求n的值.‎ ‎（2）求展开式中的系数最大的项和系数最小的项 ‎【答案】（1）8；（2）系数最大项，，系数最小项和 ‎【解析】（1）展开式的二项式系数和为，展开式的二项式系数和为，根据条件可得到关于的等式求解出的值；‎ ‎（2）根据二项式系数的性质求得当为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件可知：，所以，所以；‎ ‎（2）因为的通项为：，‎ 由二项式系数的性质可知：当时，展开式的系数最大，‎ 所以系数最大的项为，‎ 当或时，展开式的系数最小，‎ 所以系数最小的项为和.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数，若为偶数时，中间一项取得最大值；当为奇数时，中间两项同时取得最大值.‎ ‎21．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】（1）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 P（A）==‎ 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为 ‎（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4‎ P（X=1）=‎ P（X=2）=‎ P（X=3）==‎ P（X=4）==‎ X的分布列为 EX==‎ ‎22．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. ‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.‎ 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，‎ 所以，. ‎ 又 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，‎ 解得时取等号，‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎