高三数学复习之30分钟小练习（3） 3页

高三数学复习之30分钟小练习（3）‎ ‎1. 设函数f(x) (x∈R)是以3为周期的奇函数, 且f(1)>1, f(2)= a, 则 ‎ ‎ A． a>2 B． a<‎-2 C． a>1 D． a<-1‎ ‎2.设函数f(x)=, 当x∈[-4, 0]时, 恒有f(x)≤g(x), 则a可能取的一个值是 ‎ A． -5 B． ‎5 C． - D． ‎ ‎3. 已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)= ‎ ‎ A． -2 B． ‎1 C． 0.5 D． 2‎ ‎4. 已知，则下列不等式中成立的一个是 A． B． C． D．‎ ‎5. 若，则 ‎ ‎6. 在R上为减函数，则 .‎ ‎7.设是奇函数，是偶函数，并且，求 ‎ ‎ ‎8.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).‎ ‎ (Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；‎ ‎(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.‎ 参考答案 DAAD; －５, ‎ ‎7.为奇函数 为偶函数 ‎ 从而 ‎ ‎8.(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(－,－)‎ 由=8,得k=8,. ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.‎ ‎(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+, ‎ 即=－x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和 f3(x)= －x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐 标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+，当a>3时,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.‎ ‎（证法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a－=0化为ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+‎32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,则‎3a2=, a4=‎4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.‎ ‎ 天 星 教育网(www.tesoon.com) 版权所有 天 星 教育网(www.tesoon.com) 版权所有 天 星 教育网(www.tesoon.com) 版权所有 Tesoon.com ‎ 天 星版权 天·星om 权 天 星 教育网(www.tesoon.com) 版权所有 tesoon 天·星om 权 天·星om 权 Tesoon.com ‎ 天 星版权 tesoon tesoon tesoon 天 星