- 1.16 MB
- 2021-04-16 发布
南阳一中2018年春期高二年级第一次月考
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，则复数=（ ）
A． B． C． D．
2. 设，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．2 B． C． D．1
4.定义的运算分别对应下面图中的（1），（2），（3），（4），则图中（5），（6）对应的运算是（ ）
A． B． C. D．
5.设在可导，则等于（ ）
A． B． C. D．
6.已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．-1 B．1 C.-3 D．3
7.以正弦曲线上一点为切点得切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C. D．
8.在下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①两个复数不能比较大小；
②复数对应的点在第四象限；
③若是纯虚数，则实数；
④若，则.
A．0 B．1 C.2 D．3
9.已知函数，则其导函数的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
10.“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名.下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化.在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是（ ）
A．男护士 B．女护士 C.男医生 D．女医生
11.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则点（ ）
A．在直线上 B．在直线上 C.在直线上 D．在直线上
12.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“开心数”.例如：32是“开心数”.因32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23+24+25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）
A．9 B．10 C.11 D．12
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于第 象限．
14.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 ．
15.我们知道，在边长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ．
16.二维空间中圆的一维测量（周长），二维测量（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.已知四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 求下列函数的导数.
（1）； （2）； （3）.
18. 为何实数时，复数满足下列要求：
（1）是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点在第二象限；
（3）在复平面内对应的点在直线上.
19. 设函数且.
（1）试用反证法证明：；
（2）证明：.
20. 若存在过点的直线与曲线和都相切，求实数的值.
21. 设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
22.已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与的大小，并予以证明.
试卷答案
一、选择题
1-5:CADBA 6-10:AAACA 11、12：AD
二、填空题
13.二 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）.
（2）因为，
所以.
（3）函数看作和的复合复数，
，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为.
18.（1）
.
，得，即时，是纯虚数.
（2）由，得，
即时，在复平面内对应的点在第二象限.
（3）由，得，
即时，在复平面内对应的点在直线上.
19.（1）假设，
将上述不等式相加得，
，
这与矛盾，假设不成立，.
（2），
.
.
20.设直线与曲线的切点坐标为，
则，则切线的斜率或，若，此时切线的方程为，
由，消去，可得，其中，即，
解可得；若，其切线方程为，
由，消去可得，又由，即，
解可得.故或.
21.（1）方程可化为.当时，.
又，于是，解得，故.
（2）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即.
令得，从而得切线与直线的交点坐标为.
令得，从而得切线与直线的交点坐标为.
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为.
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
22.（1）在中，令，可得，即.
当时，，，
，即，
，即当时，.
又，数列是首项和公差均为1的等差数列，
于是.
（2）由（1）得，所以
，
得
，.
，
于是确定与的大小关系等价于比较与的大小.
猜想：当时，.证明如下：
证法1：（1）当时，由猜想显然成立.
（2）假设时猜想成立，即.
则时，，
所以当时猜想也成立.
综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有.
证法2: 当时,
，
综上所述，当时，；当时，.