2017-2018学年河北省黄骅中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版 11页

黄骅中学 2017－2018 年度高中二年级第二学期第一次月考 数学试卷（理科） 命题人： 审定人： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页。共 150+20 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（客观题 共 60 分） 一、选择题 (12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1、已知 a 是实数，a－i 1＋i 是纯虚数，则 a 等于( ) A．1 B．－1 C． 2 D．－ 2 2、在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为n(n－3) 2 条时，第一步检验 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D.4 3、“ 1a  ”是“ 61 ax 的展开式的各项系数之和为 64”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、正弦函数是奇函数， 2( =sin( 1)f x x ） 是正弦函数，因此 2( =sin( 1)f x x ） 是奇函数， 以上推理( ) A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 5、在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： 3 2 x x y y      ， 1( , 2)3A  经过φ变换所得的点 A′的坐标为（ ） A．(1，1) B．(1，－1) C．(3，－1) D．(2，－1) 6、设 2 9 2 11 0 1 2 11( 1)(2 1) ( 2) ( 2) ( 2)x x a a x a x a x          ，则 0 1 2 11a a a a    的值为（ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 7、已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1，变量 y 与 z 正相关．下列结论中正确的是( ) A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关 8、甲口袋内装有大小相等的 8 个红球和 4 个白球，乙口袋内装有大小相等的 9 个红球和 3 个 白球，从两个口袋内各摸 1 个球，那么 5 12 等于( ) A. 2 个球都是白球的概率 B.2 个球中恰好有 1 个是白球的概率 C.2 个球都不是白球的概率 D.2 个球不都是白球的概率 9、有下列说法： ①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数 2R 来刻画回归的效果， 2R 值越大，说明模型的拟合效果越好； ③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合 效果越好． 其中中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 10、用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有（ ） A.120 个 B.144 个 C.96 个 D.72 个 11、对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2 件．在第 一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( ) A.3 5 B.2 5 C. 1 10 D.5 9 12、设 x、y、z＞0， a ＝x＋1 y ，b ＝y＋1 z ， c ＝z＋1 x ，则 a 、b 、c 三数( ) A．至少有一个不大于 2 B．都小于 2 C．至少有一个不小于 2 D．都大于 2 第Ⅱ卷（共 90 +20 分） 二、填空题 (4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、从 1，2，3，…，9 九个数字中选出三个不同的数字 a 、b 、c ，且 a ＜b ＜c ，作抛物 线 2y ax bx c   ，则不同的抛物线共有________ 条（用数字作答） 14、 2 10( 1)x x  展开式中 3x 项的系数为_______ 15、已知 X～N(μ， 2 )，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市 20000 人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布 N(100,100)，则本次考试 120 分以上的学 生约有________人. 16、给出以下数对序列： (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 记第 i 行的第 j 个数对为 ,i ja ，如 4,3a ＝(3,2)，则 (1) 5,4a ＝________；(2) n,ma ＝________. 三、解答题（共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤） 17、(本小题 10 分)已知 5 7A 56Cn n ，且 2 3 0 1 2 3(1 2 ) ......n n nx a a x a x a x a x       ． (1)求 n 的值； (2)求 1 2 3 ...... na a a a    的值． 18、(本小题 12 分) 已知虚数 z 满足 1z  ， 2 12 0z z z    ，求 z . 19、(本小题 12 分)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别 是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程．现有 3 名工人相 互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设． (1)求这 3 人选择的项目所属类别互异的概率； (2)将此 3 人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望． 20、(本小题 12 分)某高校共有学生 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人．为调查该 校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了 300 位学生每周 平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？[] (2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所 示)，其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估 计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率； (3)在样本数据中，有 60 位女生的每周 平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每 周平 均体育运动时间与性别列联表，并 判断是否有 95%的把握认为“该校学生的 每周平均体育运动时间与性别有关”． 附：K2＝ nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 21、(本小题 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝an 2 ＋ 1 an －1，且 an＞0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明通项公式的正确性． 22、(本小题 12 分) 某农科所发现，一种作物的年收获量 y （单位： kg ）与它“相近”作物的株数 x 具有线 性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过 1m )，并分别记录了相近 作物的株数为 1,2,3,5,6,7 时，该作物的年收获量的相关数据如下： x 1 2 3 5 6 7 y 60 55 53 46 45 41 （1）求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数 x 的线性回 归方程； （2）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株 该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的 分布列与数学期望．(注:年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据) 附： 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x n x x x                四、附加题（共 2 小题，共 20 分） 1、数列 1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利数学家列昂那多•斐波那契于 1202 年 兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列，后来发现很多自然 现象都符合这个数列的规律，某校数学兴趣小组对该数列研究后，类比该数列各项产生的 办法，得到数列{ na }：1，2，1，6，9，10，17，…，设数列{ na }的前 n 项和为 Sn （1）请计算： 1 2 3a a a  , 2 3 4a a a  ， 3 4 5a a a  ，并依此规律求数列{ na }的第 8 项 8a =______ （2） 3 1nS  =_______（请用关于 n 的多项式表示)． 2 2 2 2 ( 1)(2 1)[1 2 3 ...... ]6 n n nn      2、将 10 个小正方形构成如图所示的图阵，现使用“0”或“1”依次对第四层的小正方形进 行编号，且第一，二，三层的编号等于其下面的两个小正方形编号的数字之和，若第一层 的小正方形的编号能被 2 整除，则有______种不同的编号方法。 黄骅中学 2017－2018 年度高中二年级第二学期第一次月考 数学试卷答案(理科）[] 一、选择题 (12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1-6 A C B C B A 7-12 C B D A D C 二、填空题 (4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13、84 14、－210 15、500 16、(1)(4,2) (2)(m，n－m＋1) 三、解答题（共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、本小题 10 分)（1）由 5 7A 56Cn n 得： n（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）＝56 · 1234567 )6)(5)(4)(3)(2)(1(   nnnnnnn 即（n－5）（n－6）＝90 解之得：n＝15 或 n＝－4（舍去）． ∴ n＝15． ………………5 分 （2）当 n＝15 时，由已知有： （1－2x）15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋……＋a15x15， 令 x＝1 得：a0＋a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－1， 令 x＝0 得：a0＝1， ∴a1＋a2＋a3＋……＋a15＝－2．………………10 分 18、(本小题 12 分)解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R 且 y≠0)，所以 2 2 1x y  则 2 12z z z   ＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋ 1 x＋yi ＝( 2 2 3x y x  )＋y(2x＋1)i. ………………5 分 因为 2 12 0z z z    且 y≠0， 所以 2 2 2 2 2 1 0 1 3 0 x x y x y x        又 ，………………8 分 解得 x＝－1 2 ， y＝± 3 2 ， 故 z＝－1 2 ± 3 2 i. ………………12 分 19、(本小题 12 分) 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产 业建设类分别为事件 Ai、Bi、Ci，i＝1, 2,3. 由题意知 A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3 均相互独立． 则 P(Ai)＝30 60 ＝1 2 ，P(Bi)＝20 60 ＝1 3 ，P(Ci)＝10 60 ＝1 6 ，i＝1,2,3， (1)3 人选择的项目所属类别互异的概率： P1＝ 3 3A P(A1B2C3)＝6×1 2 ×1 3 ×1 6 ＝1 6 .………………4 分 (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率： P2＝30＋10 60 ＝2 3 ，由 X～B 23 3 （ ，）， 得 P(X＝k)＝    32 2 3 3 31k kkC  (k＝1,2,3)， 所以 X 的分布列为 X 0 1[] 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 其数学期望为 E(X)＝3×2 3 ＝2. ………………12 分 20、(本小题 12 分)解：(1)300× 4 500 15 000 ＝90， 所以应收集 90 位女生的样本数据．………………2 分 (2)由频率分布直方图，得 1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时 间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. ………………4 分 (3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过 4 小时，75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时．又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份是关于女生的．………………6 分 所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过 4 小时 165 60 225 总计 210 90 300 ………………8 分 结合列联表可算得 K2＝300×45×60－165×302 75×225×210×90 ＝100 21 ≈4.762＞3.841. 所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”． ………………12 分 21(本小题 12 分) (1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝ 1 1 1 12 a a   ， a21＋2a1－2＝0.∴a1＝ 3－1(a1＞0)．当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a2 2 ＋ 1 a2 －1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．………………5 分 (2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1.由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ 1 1 1 2 k k a a    －ak 2 －1 ak ， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1，即 n＝k＋1 时通项公式成立． 由①②可知对所有 n∈N*，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立．………………12 分 22、(本小题 12 分) 解： (1)    1 11 2 3 5 6 7 4, 60 55 53 46 45 41 506 6x y              ,                6 1 3 10 2 5 1 3 1 4 2 5 3 9 84 i i i x x y y                         ,         6 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 2 3 28i i x x             , 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) 84 328( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x n x x x                     , 50 3 4 62a y bx      , 故该作物的年收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为 3 62y x   .………………6 分 (2) 由（1）得，当 2,3,4x  ，与之相对应 56,53,50y  ，             4 156 2 ,16 4 8 153 3 ,16 2 4 150 4 16 4 P y P X P y P X P y P X                所以它的年收获量 y 的分布列 y 56 53 50 P [] 1 4 1 2 1 4 数学期望为  1 1 156 53 50 534 2 4Ey kg       . ………………12 分 四、附加题（共 2 小题，共 20 分） 8 3 2 3 1 1 (1) 22 9 3(2) 3 12 2n a S n n n      、 2、8