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- 2021-04-16 发布
静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月
学生学业能力调研卷
1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。
2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。
知识技能
学习能力
习惯养成
总分
内容
集合、逻辑
解析、立体
函数
导数
规律总结
卷面整洁
150
分值
25
25
47
33
20[]
3-5分
第I卷 基础题（共136分）
一、选择题（每题5分，共40分）
1.已知集合，集合， ，那么集合（ ）
A. B. C. D.
2.设实数满足，则的最小值为（ ）
A. 4 B. C. D. 0
3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. 6 B. C. D.
4.在中，内角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的面积为（ ）A. 3 B. C. D.
5.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6．下列选项中，说法正确的是( )
A. 命题“”的否定是“”
B. 命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
C. 命题“若,则”是假命题
D. 命题“在中，若，则”的逆否命题为真命题
7.已知点在幂函数的图象上，设， ， ，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若的图像与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（每题5分，共30分）
9. 已知为实数， 为虚数单位，若为实数，则__________．
10.一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.
11.设函数，则使得成立的的取值范围为_____．
12. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为___________．
13.点，实数是常数， 是圆上两个不同点， 是圆上的动点，若关于直线对称，则面积的最大值是___________．
14.已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且= ，= ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•= ．
三、解答题：(共80分)
15.(13分)设函数.
（1）求函数的值域和函数的的单调递增区间；
（2）当，且时，求的值.
16.(13分)各项均为正数的数列的前项和为满足.（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，整数，求的最大值.
17.(13分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.
（）求证： .
（）若，且平面平面，
求①二面角的锐二面角的余弦值.
②在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角等于，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由.
18.（13分）已知等差数列的前n项和为， ， ，数列满足： ， ， ，数列的前n项和为
（1）求数列的通项公式及前n项和；
（2）求数列的通项公式及前n项和；
（3）记集合，若M的子集个数为16，求实数
的取值范围.
19. （14分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
第Ⅱ卷 提高题（共14分）
20. 已知函数.
（1）若函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；
（2）令， ，讨论函数的单调区间；
（3）如果在（1）的条件下， 在内恒成立，求实数的取值范围.
静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月
学生学业能力调研卷答题纸
得分框[]
知识与技能[][]
学法题[]
卷面整洁
总分
二、填空题（每题5分，共30分）
9.___________ 10. ___________ 11.___________
12. ___________ 13. ___________ 14.___________
三、解答题（本大题共6题，共80分）
15.（13分）
16（13分）
17（13分）
18（13分）
19（14分）
第Ⅱ卷提高题（共14分）
20（14分）
参考答案：
1．C
2．B
3．D
4．C
【解析】由余弦定理可知： ，
，即， ， ，故选C.
5．C
【解析】 ，当且仅当时，等号成立，故选C.
6．C
7．A
【解析】∵函数为幂函数，
∴,
解得.
∴,
由条件得点在函数的图象上，
∴，
解得.
∴，
∴函数在R上单调递增。
∵,
∴,
∴,即。选A。
8．C
9．-2
【解析】为实数，则。
10．36
【解析】如图所，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体，它的体积为
即答案为69
11．
【解析】
试题分析：依题意，建立如图所示平面直角坐标系，由已知得， ，
所以，，
.
考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的数量积.
12．.
【解析】
试题分析：由题意得：，，
又∵，∴，
又∵菱形的边长为，，∴，
∴.
考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
13．
【解析】圆的圆心为，在直线上， ，圆的圆心为，半径为1， ，直线AB的方程为，即，圆心到直线AB的距离为， 面积的最大值是.
14．
【解析】因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，
故答案为： 。
15．（1）值域是，单调递增区间为；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．
试题解析：
（1）依题意 .
因为，则.
即函数的值域是.
令， ，解得， ，所以函数的单调递增区间为， .
（2）由，得.
因为，所以时，得.
所以 .
16．(1)证明见解析；(2)①；②答案见解析.
【解析】试题分析：
(1)由题意可证得平面，然后利用线面平行的性质定理可得，
(2)①建立空间直角坐标系，由题意可得平面的一个法向量为；
而为平面的一个法向量.据此计算有二面角的锐二面角的余弦值为.
②假设上存在点满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数的方程，解方程可得，则线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.
试题解析：
（）证明：∵， 平面， 平面，
∴平面，
又∵平面，且平面平面，
∴，
（）①取的中点，连接， ， ，
∵是菱形，且， ，
∴， 是等边三角形，
∴， ，
又平面平面，平面平面， 平面，
∴平面，
以为原点，以， ， 为坐标轴建立空间坐标系，则：
， ， ， ， ， ， .
， ，
设平面的法向量为，则：
，∴，
令得： ；
∵平面，
∴为平面的一个法向量.
∴.
故二面角的锐二面角的余弦值为.
②假设上存在点使得直线与平面所成角等于，
则与所成夹角为，
设，则：
，
，
化简得： ，
解得： 或（舍），
∴线段上存在一点，使得直线与平面所成的角等于.
点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．
(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．
17．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据，提取公因式得到，故，由等差数列的概念得到，结果。（2）首先由题干知道
再根据裂项求和得到， ，就可以证得结果。
（Ⅰ）， ，所以
，
所以，即数列是等差数列.
（Ⅱ）若，则，
18．（1）， （2）（3）
【解析】试题分析： 利用等差数列的通项公式和前项和公式即可得出，
先得到，再利用累乘法，得到数列的通项公式，再利用错位相减法求出前项和公式
根据函数的的单调性，得到不等式继而求实数的取值范围
解析：（1）设数列的公差为d，由题意知： 解得
，
（2）由题意得：
当时
又也满足上式，故
故 ——①
——②
①－②得：
＝
（3）由（1）（2）知： ，令
则， ， ， ，
当时，
集合M的子集个数为16 中的元素个数为4
的解的个数为4
19．（1）；（2）；（3）.
【解析】试题分析：（1）由"左焦点为，右顶点为"得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.
试题解析：（1）椭圆的标准方程为.
（2）设线段的中点为，点的坐标是，
由，得
点在椭圆上，得
∴线段中点的轨迹方程是.
（3）当直线垂直于轴时， ，因此的面积.
当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，
解得， ，
则，又点到直线的距离，
∴的面积
于是
由，得，其中，当时，等号成立.
∴的最大值是.
20．（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）即恒成立，再参变分离得最大值，利用基本不等式求最值得（2）先求导数得，再根据导函数是否变号进行分类讨论：若，导函数不变号，在单调递增；若，导函数先正后负，即先增后减（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题： ，其中，再利用导数研究得在上单调递增，即得，解得实数的取值范围.
试题解析：（1），因为在定义域单调递增，所以恒成立
即
而（当且仅当时等号成立），故即为所求.
（2），
①若， ，则在单调递增
②若，令， ， ，
则在单调递增，在单调递减
（3）由题意，须对任意恒成立，
设，
∵， ，∴ ， ，
∴即在上单调递增，
若对任意恒成立，
则应令
综上所述， 即为所求.