- 312.00 KB
- 2021-04-16 发布
第2讲 函数的图象与性质
题型一| 函数及其表示
(1)(2016·苏锡常镇调研(二))函数f(x)＝的定义域为________．
(2)(2016·苏州模拟)已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)＝f(2＋m)，则实数m的值为________．
(1)(0,1)∪(1,2) (2)8或－ [(1)要使函数有意义，只需解得0＜x＜1或1＜x＜2，
即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)．
(2)当m＞0时，2－m＜2＜2＋m，
由f(2－m)＝f(2＋m)得
3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，
解得m＝8.
当m＜0时，2＋m＜2＜2－m，
由f(2－m)＝f(2＋m)得
－(2－m)－2m＝3(2＋m)－m，
解得m＝－.
综上所述m＝8或－.]
【名师点评】 1.对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．
2．若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．
(2016·无锡期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(11)＝________.
2 [f(11)＝f(10)－f(9)＝f(9)－f(8)－f(9)＝－f(8)，
f(8)＝f(7)－f(6)＝f(6)－f(5)－f(6)＝－f(5)，
f(5)＝f(4)－f(3)＝f(3)－f(2)－f(3)＝－f(2)，
f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－f(－1)，
∴f(11)＝f(－1)＝log2(3＋1)＝log24＝2.]
题型二| 函数的图象及其应用
(1)已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(－x)≤f(1)的解集为________．
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【导学号：19592003】
[解题指导] (1)作出f(x)的图象，根据图象转化为关于x的不等式．
(2)在同一坐标系中，分别作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象，将方程根的个数问题转化为两图象交点的个数问题求解．
(1)[－1，＋∞) (2)(0,1)∪(9，＋∞) [(1)函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(－x)≤f(1)知，－x≤＋1，从而得到不等式f(－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．
(2)设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解．
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，所以09.]
【名师点评】 1.识图：在观察、分析图象时，要注意图象的分布及变化趋势，尤其是函数的奇偶性以及极值点、特殊点的函数值等，找准解析式与图象的对应关系．
2．用图：函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，因此常用函数的图象研究函数的性质，求解方程(不等式)中的参数取值等．
1．设函数y＝f(x)是定义域为R，周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1)时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝
则函数f(x)和g(x)的图象在区间[－5,10]内公共点的个数为________．
14 [根据题意可在同一坐标平面内分别作出函数y＝f(x)和函数y＝g(x)的图象，如图所示，
可见它们在区间[－5,10]内公共点的个数为14个．]
2．函数y＝的图象与函数y＝sin x(－4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
16 [函数y＝与函数y＝sinx(－4≤x≤8)的图象有公共的对称中心(2,0)，画出两者的图象如图所示，易知y＝与y＝sinx(－4≤x≤8)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1