- 375.00 KB
- 2021-04-16 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（ ）
A．an= B．an= C．an=n2﹣n+1 D．an=n2+n+1
3．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（ ）
A． B．a2＞ab C． D．
4．双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，a=1，b=，A=30°，则角C=（ ）
A．60° B．30°或90° C．30° D．60°或120°
7．已知点M（x，y）满足，若ax+y的最大值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
9．曲线f（x）=x3﹣2在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为（ ）
A． B．1 C．﹣1 D．﹣
10．设F1、F2分别为双曲线﹣
=1的左右焦点，M是双曲线的右支上一点，则△MF1F2的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．双曲线﹣=1的渐近线方程是 ．
12．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）= ．
13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于 ．
14．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为 ．
15．已知数列{an}中，a1=1且=+1（n∈N*），则an= ．
三、解答题（共5小题，满分40分）
16．（8分）已知椭圆+y2=1，直线m与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M（1，），求直线m的方程．
17．（8分）已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．
（1）求角B的度数．
（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．
18．（8分）已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；
（2）记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．
19．（8分）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
20．（8分）已知函数f（x）=+lnx﹣1．
（1）当a=2时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，且对x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的方程求得焦点坐标及准线方程，即可求得焦点到准线的距离．
【解答】解：由抛物线y2=6x焦点坐标为（，0），
准线方程为：x=﹣，
∴焦点到准线的距离﹣（﹣）=3，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程及性质的简单应用，属于基础题．
2．无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（ ）
A．an= B．an= C．an=n2﹣n+1 D．an=n2+n+1
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】仔细观察数列1，3，6，10…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式
【解答】解：仔细观察数列1，3，6，10，可以发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
…
∴第n项为1+2+3+4+…+n=，
∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为an==
故选：A
【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．
3．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（ ）
A． B．a2＞ab C． D．
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．
【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．
对于B：当b＜a＜0时，不成立．
对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a 时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．
对于D：当a=1，b=﹣时不成立，
故选C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质的变形运用能力，属于基础题．
4．双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的标准方程，求出a，c的值即可得到结论．
【解答】解：双曲线的标准方程是，
则a2=2，b2=2，则c2=2+2=4，
即a=，c=2，
则离心率e==，
故选：A
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a，c的值是解决本题的关键．比较基础．
5．已知数列{an}满足an+1=，若a1=，则a2017=（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列递推式．
【分析】数列{an}满足an+1=，a1=，可得an+3=an．即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1=，a1=，
∴a2=2a1﹣1=，a3=2a2﹣1=，a4=2a3=，…，
∴an+3=an．
则a2017=a672×3+1=．
故选：D．
【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．在△ABC中，a=1，b=，A=30°，则角C=（ ）
A．60° B．30°或90° C．30° D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可得sinB=，结合B的范围可求B的值，进而利用三角形内角和定理可求C的值．
【解答】解：∵a=1，b=，A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB===，
∵b＞a，可得：B∈（30°，180°），
∴可得：B=60°，或120°，
∴C=180°﹣A﹣B=90°或30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
7．已知点M（x，y）满足，若ax+y的最大值为1，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（1，0），B（3，4），C（1，2）
若z=ax+y过A时取得最大值为1，则a=1，
此时，目标函数为z=x+y，
即y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，当直线经过B（3，4）时，
此时z最大为1，故不满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为1，则3a+4=1，解得a=﹣1，
此时，目标函数为z=﹣x+y，
即y=x+z，
平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为3，不满足条件，
若z=ax+y过C时取得最大值为1，则a+2=1，解得a=﹣1，
此时，目标函数为z=﹣x+y，
即y=x+z，
平移直线y=x+z，当直线经过C（1，2）时，截距最大，此时z最大为1，不满足条件，
故a=﹣1；
故选：A
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
8．命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1，2]，a≥x2，恒成立
即只需a≥（x2）max=4，即“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选C
【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．
9．曲线f（x）=x3﹣2在点（﹣1，f（﹣1））处切线的斜率为（ ）
A． B．1 C．﹣1 D．﹣
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求出函数在﹣1处的导数，可得切线的斜率
【解答】解：函数f（x）=x3﹣2的导数f′（x）=x2，曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为f′（﹣1）=1，
故选：B
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
10．设F1、F2分别为双曲线﹣=1的左右焦点，M是双曲线的右支上一点，则△MF1F2的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的性质，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=6，转化为|HF1|﹣|HF2|=6，从而求得点H的横坐标．
【解答】解：如图所示：F1（﹣5，0）、F2（5，0），
设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=8，
由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|﹣|NF2 |=8，
即|HF1|﹣|HF2|=8，
设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故 （x+5）﹣（5﹣x）=8，
∴x=4．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．双曲线﹣=1的渐近线方程是 y=±x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，
故答案为y=±．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．
12．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）= ﹣2 ．
【考点】导数的运算．
【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．
【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），
得：f′（x）=2x+3f′（2），
所以，f′（2）=2×2+3f′（2），
所以，f′（2）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．
13．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最小内角的余弦值等于 ．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，可求A为三角形的最小内角，代入余弦定理化简即可得解．
【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，
∴a=，c=，A为三角形的最小内角，
∴由余弦定理可得cosA===．
故答案为：．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属于基础题．
14．已知a＞0，b＞0且a+b=2，则的最小值为 2 ．
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，则===2，当且仅当a=b=1时取等号
．因此其最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．已知数列{an}中，a1=1且=+1（n∈N*），则an= ．
【考点】等差数列的性质．
【分析】由数列递推式可知数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，由此求得数列{an}的通项公式，则答案可求．
【解答】解：由=+1（n∈N*），得
﹣=1（n∈N*），
因为a1=1，
所以=1，
所以数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以=1+（n﹣1）×1=n，
所以an=．
故答案是：．
【点评】本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
三、解答题（共5小题，满分40分）
16．已知椭圆+y2=1，直线m与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M（1，），求直线m的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求得AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由题：，设直线m与椭圆的两个交点坐标分别为A（x1
，y1），B（x2，y2）．
代入椭圆方程的得：．
两式相减得：，
另由中点坐标公式：x1+x2=2，y1+y2=1，
则：
所以直线m方程为：y﹣=﹣（x﹣1），即x+2y﹣2=0
【点评】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，是中档题．
17．已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．
（1）求角B的度数．
（2）若△ABC的面积S=，求边b的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由△ABC的三角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．
（2）由三边a，b，c成等比数列．可得b2=ac，利用余弦定理可得：cos60°=，可得a=c．再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．
（2）∵三边a，b，c成等比数列．∴b2=ac，
由余弦定理可得：cos60°=，∴ =，化为a=c．
∴△ABC是等边三角形．
∴△ABC的面积S==×b2，解得b=2．
【点评】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角函数求值、等边三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．已知等差数列{an}中，a3=9，a8=29．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式；
（2）记数列{}的前n项和为Tn，求Tn的值．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列{an}的通项公式及前n项和Sn的表达式．
（2）此利用裂项求和法能求出Tn的值
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a3=9，a8=29，
∴，
解得a1=1，d=4，
∴an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．
Sn=n+×4=2n2﹣n．
（2）由（1）得，
∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
19．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出命题p、q为真命题时m的范围，根据复合命题真值表可得命题p，q命题一真一假，分p真q假和p假q真求出m的范围，再求并集．
【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，
∴⇒m＞2
若p为真时：m＞2，
∵曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，
则△=（2m﹣3）2﹣4＞0⇒m＞或m，
若q真得：或，
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假
若p真q假：；
若p假q真：
∴实数m的取值范围为：或．
【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．
20．已知函数f（x）=+lnx﹣1．
（1）当a=2时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，且对x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；
（2）分离参数，得到a＞x（1﹣lnx）对x∈（0，+∞）恒成立，设g（x）=x（1﹣lnx），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）a=2时，，
所以，则f'（1）=﹣1，
又f（1）=1，所以切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（2）因为a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，+∞）恒成立，
所以a＞x（1﹣lnx）对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
则g'（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）为增函数；
当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
所以g（x）max=g（1）=1﹣ln1=1，
则实数a的取值范围是（1，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．