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- 2021-04-16 发布
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2019 第六次月考理科数学试卷
（满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填写在答题卡上）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180°
归纳出所有三角形的内角和都是 180°；③由 f(x)＝sinx，满足 f(－x)＝－f(x)，x∈R，推
出 f(x)＝sinx 是奇函数；④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和
是 540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④ C．①②④ D．②④
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于 60°
B．三角形的三个内角都大于 60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于 60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于 60°
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直
线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( )
A. 3 J B. 2 3
3
J C. 4 3
3
J D．2 3 J
5．设 a≠0，a∈R，则抛物线 y＝a x2 的焦点坐标为( )
A.（a
2
，0） B．(0, 1
2a
) C. （a
4
，0） D．(0, 1
4a
)
6．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增长到
原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )
- 2 -
7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2 B．92,2.8 C．93,2 D．93,2.8
8．函数 f(x)＝sinxcosx＋ 3
2
cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
9．下面的程序运行后，输出的值是( )
i＝0
Do
i＝i＋1
LOOP UNTIL 2^i＞2 000
i＝i－1
PRINT i
END
A．8 B．9 C．10 D．11
10．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋b
i
为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知双曲线
2 2
2 2
x y 1a b
(a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
12．已知 a>0，x，y 满足约束条件
)3(
,3
,1
xay
yx
x
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( )
A．1
4
B．1
2
C．1 D．2
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．若复数2－bi
1＋2i
(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b＝________.
- 3 -
14．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点
火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km
的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
15．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________．
16．有下列四个命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长
相等”的否命题；③若“b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；④若 p∨q
为假命题，则 p，q 均为假命题．
其中真命题的序号是__________．(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题
17．(10 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cos A＝4
5
.
（1）求 sin2 B＋C
2
＋cos 2A 的值；
（2）若 b＝2，△ABC 的面积 S＝3，求 a.
18．(12 分)从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数(个) 5 10 20 15
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在[80,85)
的有几个？
（3）在(2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率．
19． (12 分)已知函数 f(x)＝1
3
x3－ax2＋(a2－1)x＋b (a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处
的切线方程为 x＋y－3＝0.
（1）求 a，b 的值；
（2）求函数 f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间[－2,4]上的最大值．
20．(12 分)如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，点 E 在 C1C 上，且 C1E＝3EC.
（1）证明 A1C⊥平面 BED；
（2）求二面角 A1－DE－B 的余弦值．
- 4 -
21．(12 分)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－ 3)、(0， 3)的距离之和等于 4，设点
P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A、B 两点．
（1）写出 C 的方程；
（2）若OA→⊥OB→，求 k 的值．
22．(12 分) 在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝1
2
an＋1
an .
（1）求 a1，a2，a3；
（2）由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
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拉萨中学高二年级（2019 届）第六次月考理科数学试卷
命题：
（满分 150 分，考试时间 120 分钟，请将答案填写在答题卡上）
选择题答案：CBDCD；DBACB；CB
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和
是 180°归纳出所有三角形的内角和都是 180°；③由 f(x)＝sinx，满足 f(－x)＝－f(x)，x
∈R，推出 f(x)＝sinx 是奇函数；④三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形
内角和是 540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③④
C．①②④ D．②④
解析：合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎
推理．
答案：C
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于 60°
B．三角形的三个内角都大于 60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于 60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于 60°
解析：其假设应是对“至少有一个角不大于 60°”的否定，即“都大于 60°”．
答案：B
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
①正方体 ②圆锥
③三棱台 ④正四棱锥
- 6 -
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除 A，B，C.
答案：D
4．一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方
向作直线运动，则由 x＝1 运动到 x＝2 时 F(x)作的功为( )
A. J B.
3
3JC.
3
3 J D．2 J
解析：由于 F(x)与位移方向成 30°角．如图：F 在位移方向上的分力 F′＝F·cos 30°，
W＝ʃ
2
1(5－x2)·cos 30°dx＝
3
2ʃ
2
1(5－x2)dx
＝
3
2
1
x3|
2
1＝
3
2×
8
3＝
3
3 (J)．
答案：C
5．设 a≠0，a∈R，则抛物线 y＝a x2 的焦点坐标为( )
A.（a2，0）B．(0, 12a)
C.（a4，0） D．(0, 14a)
答案：D
6．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家预测经过 x 年可能增
长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )
解析：设原有荒漠化土地面积为 1，由题意，得 y＝(1＋10.4%)x．故其图象应如 D 项中
图所示，选 D．
答案： D
7．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
- 7 -
A．92,2 B．92,2.8
C．93,2 D．93,2.8
解析：去掉最高分 95 和最低分 89 后，剩余数据的平均数为＝
90＋90＋93＋94＋93
5 ＝92，
方差为 s2＝
1
5×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝
1
5×(4＋4
＋1＋4＋1)＝2.8.
答案：B
8．函数 f(x)＝sinxcosx＋32cos2x 的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2
解析：f(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)，周期 T＝π，振幅为 1，故选 A.
答案：A
9．下面的程序运行后，输出的值是( )
PRINT i
END
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：由题意知，此程序为循环语句，当 i＝10 时，210＝1 024；当 i＝11 时，211＝2 048
＞2 000，输出结果为 i＝11－1＝10.
答案：C
10．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数 a＋
b
i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 a≠0，b＝0 时，ab＝0，则 a＋bi是实数，故不是充分条件；若复数 a＋bi为纯
虚数，且 a＋bi＝a－bi，则 a＝0 且 b≠0，所以 ab＝0，故是必要条件．
答案：B
11．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：
- 8 -
如图所示，要使过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该
直线的斜率小于等于渐近线的斜率
b
a，∴
b
a≥，离心率 e2＝
c2
a2＝
a2＋b2
a2 ≥4，∴e≥2.
答案：C
12．已知 a>0，x，y 满足约束条件x＋y≤3，
x－3 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( )
A.14 B.12 C．1 D．2
解析：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．
作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值，
由x＝1，
，
得 x＝1，
y＝－2a，
∴zmin＝2－2a＝1，
解得 a＝12，故选 B.
答案：B
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．若复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则 b＝________.
解析：因为2－bi1＋2i＝1－2i5 ＝2－2b5 －4＋b5 i，又复数2－bi1＋2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，
所以2－2b5 ＝4＋b5 ，即 b＝－23.
- 9 -
答案 －23
14．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，
在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km
的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
解析 设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项 a1＝2，公差
d＝2 的等差数列，由求和公式得 na1＋n－1d2 ＝240，即 2n＋n(n－1)＝240，解得 n＝15.
答案 15
15．以原点 O 为圆心且截直线 3x＋4y＋15＝0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________．
解析：原点 O 到直线的距离 d＝
15
32＋42＝3，设圆的半径为 r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的
方程是 x2＋y2＝25.
答案：x2＋y2＝25
16．有下列四个命题：①“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的
周长相等”的否命题；③若“b≤－1，则方程 x2－2bx＋b2＋b＝0 有实根”的逆否命题；④若
p∨q 为假命题，则 p，q 均为假命题．
其中真命题的序号是__________．(把所有正确命题的序号都填上)
解析：对①，逆命题“若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”是真命题；对②，否命题“不相似
的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b2－4(b2＋b)≥0，即 b≤0，∴b≤－1 时，
方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p∨q 假时，p，q 一定均假，∴
④正确．故①③④正确．
答案：①③④
三、解答题
17．(10 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c，且 cos A＝45.
(1)求 sin2B＋C2 ＋cos 2A 的值；
(2)若 b＝2，△ABC 的面积 S＝3，求 a.
解 (1)sin2B＋C2 ＋cos 2A＝B＋C2 ＋cos 2A＝1＋cos A2 ＋2cos2A－1＝5950.（5 分）
(2)∵cos A＝45，∴sin A＝35.
由 S△ABC＝12bcsinA，得 3＝12×2c×35，解得 c＝5.
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a＝.（10 分）
- 10 -
18．(12 分)从一批苹果中，随机抽取 50 个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：
分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
频数(个) 5 10 20 15
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；
(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个，其中重量在
[80,85)的有几个？
(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的
概率．
解：(1)苹果重量在[90,95)的频率为2050＝25＝0.4；(4 分)
(2)重量在[80,85)的苹果有 55＋15×4＝1 个；(8 分)
(3)在(2)中抽出的 4 个苹果中，有 1 个重量在[80,85)中，3 个在[95,100)中．设“在[80,85)
和[95,100)中各有 1 个苹果”为事件 A，则 P(A)＝36＝12.
故重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个苹果的概率为12.(12 分)
19． (12 分)已知函数 f(x)＝13x3－ax2＋(a2－1)x＋b(a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))
处的切线方程为 x＋y－3＝0.
(1)求 a，b 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间，并求出 f(x)在区间[－2,4]上的最大值．
解：(1)f′(x)＝x2－2ax＋a2－1，
∵(1，f(1))在 x＋y－3＝0 上，
∴f(1)＝2，
∴(1,2)在 y＝f(x)上，
∴2＝13－a＋a2－1＋b.
又 f′(1)＝－1，∴a2－2a＋1＝0，
解得 a＝1，b＝83.6 分
(2)∵f(x)＝13x3－x2＋83，
∴f′(x)＝x2－2x，
由 f′(x)＝0 可知 x＝0 和 x＝2 是 f(x)的极值点，所以有
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
- 11 -
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．
∵f(0)＝83，f(2)＝43，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间[－2,4]上的最大值为 8.12 分
20．(12 分)如图，正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝4，点 E 在 C1C 上，且 C1E＝3EC.
(1)证明 A1C⊥平面 BED；
(2)求二面角 A1－DE－B 的余弦值．
解 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz.
依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．
DE
→＝(0,2,1)，
DB
→＝(2,2,0)，
A1C
→ ＝(－2,2，－4)，
DA1
→ ＝(2,0,4)．
(1)∵
A1C
→ ·
DB
→＝0，
A1C
→ ·
DE
→＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥DE.
- 12 -
又 DB∩DE＝D，
∴A1C⊥平面 DBE.（6 分）
(2)设向量 n＝(x，y，z)是平面 DA1E 的法向量，则 n⊥
DE
→、n⊥
DA1
→ .
∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.
令 y＝1，则 z＝－2，x＝4，
∴n＝(4,1，－2)．
∴cos〈n，
A1C
→ 〉＝
A1C
| ＝
14
42.
∵〈n，
A1C
→ 〉等于二面角 A1－DE－B 的平面角，
∴二面角 A1－DE－B 的余弦值为
14
42.（12 分）
21．(12 分)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于 4，设点
P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A、B 两点．
(1)写出 C 的方程；
(2)若
OA
→⊥
OB
→，求 k 的值．
解 (1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴
为 2 的椭圆，它的短半轴 b＝＝1，
故曲线 C 的方程为 x2＋y24 ＝1.（4 分）
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
＝1，
y＝kx＋1.
消去 y 并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0 恒成立．
故 x1＋x2＝－ 2kk2＋4，x1x2＝－ 3k2＋4.
若OA→⊥OB→，即 x1x2＋y1y2＝0.
而 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是 x1x2＋y1y2＝－ 3k2＋4－ 3k2k2＋4－ 2k2k2＋4＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以 k＝±12.（12 分）
22．(12 分)在各项为正的数列{an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝12 1an.
(1)求 a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
- 13 -
解：(1)S1＝a1＝12 1a1，得 a21＝1，
∵an>0，∴a1＝1.
S2＝a1＋a2＝12 1a2，得 a22＋2a2－1＝0，
∴a2＝－1，S3＝a1＋a2＋a3＝12 1a3.
得 a23＋2a3－1＝0，∴a3＝－.4 分
(2)猜想 an＝－(n∈N*)．
证明如下：
①n＝1 时，a1＝－命题成立；
②假设 n＝k 时，ak＝－成立，
则 n＝k＋1 时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12 1ak＋1－12 1ak，即
ak＋1＝12 1ak＋1－12 1k－1
＝12 1ak＋1－.
∴a 2k＋1＋2ak＋1－1＝0.∴ak＋1＝－.
即 n＝k＋1 时，命题成立.12 分
由①②知，an＝－对任意 n∈N*都成立.（12 分）