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- 2021-04-16 发布
2016-2017学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷
一、填空题：
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N= ．
2．函数f（x）=+的定义域为 ．
3．已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为 ．
4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为 ．
5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是 ．
6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为 ．
7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移 个单位．
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2= 相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是 ．
9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为 ．
10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f（x+
）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是 ．
11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为 ．
12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为 ．
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为 ．
14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知函数f（x）=•﹣， =（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．
（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．
17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．
（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．
19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．
（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；
（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．
20．设各项均为正数的数列{an}满足=pn+r（p，r为常数），其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{an}是等差数列；
（2）若p=，a1=2，求数列{an}的通项公式；
（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．
2016-2017学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：
1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N= {0，1} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】通过解二次方程求出集合N，然后求解交集．
【解答】解：因为集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={x|x=0，1}，
则M∩N={0，1}．
故答案为：{0，1}
2．函数f（x）=+的定义域为 （2，3） ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】要使函数f（x）有意义，应满足，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）=+，
∴，
即，
解得2＜x＜3；
∴f（x）的定义域为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
3．已知等差数列{an}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为 ±1 ．
【考点】等差数列的性质；极差、方差与标准差．
【分析】a1，a3，a5，a7，a9的平均值是a5，结合方差的定义进行解答．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
∴a1，a3，a5，a7，a9的平均值是a5，
∵a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，
∴ [（﹣4d）2+（﹣2d）2+0+（2d）2+（4d）2]=8，
解得d=±1．
故答案是：±1．
4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数n=，再求出“A乘坐在第一辆车”包含的基本事件个数m=，由此能求出“A乘坐在第一辆车”的概率．
【解答】解：现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，
基本事件总数n==6，
“A乘坐在第一辆车”包含的基本事件个数m==3，
∴“A乘坐在第一辆车”的概率为p==．
故答案为：．
5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是 5 ．
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
k=1，S=1
S=3
不满足条件S＞80，执行循环体，k=2，S=8
不满足条件S＞80，执行循环体，k=3，S=19
不满足条件S＞80，执行循环体，k=4，S=42
不满足条件S＞80，执行循环体，k=5，S=89
满足条件S＞80，退出循环，输出k=5．
故答案为：5．
6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为 2ln2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出f（x）的导数，将x=1代入f′（x）即可求出切线的斜率．
【解答】解：f′（x）=2xln2，
故f′（1）=2ln2，
故切线的斜率是：2ln2，
故答案为：2ln2．
7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移 个单位．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．
【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣）=cos[3（x﹣）]，
∴只需将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位，得到y=cos[3（x﹣+）]= cos3x的图象．
故答案为：．
8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2= 相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是 0 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d，由于△ABC为正三角形，可得=cos30°，代入即可得出．
【解答】解：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d==．
∵△ABC为正三角形，∴=cos30°，
∴=×，化为：2a=0，
解得a=0．
故答案为：0．
9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为 2 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，利用圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，建立方程能求出结果．
【解答】解：设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，
∵圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，
∴=，
解得r=2，
∴圆锥N的底面半径为2．
故答案为：2．
10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f（x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是 a＜﹣1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】首先，根据f（x+）=﹣f（x），得到f（x）是周期为3的函数，然后，得到f（1）=﹣a，再结合f（1）＞1，得到答案．
【解答】解：∵f（x）+f（x+）=0，
∴f（x+）=﹣f（x），
∴f（x+3）=f（x），
∴f（x）是周期为3的函数，
∵f（2）=f（3﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=a
∴f（1）=﹣a
又∵f（1）＞1，
∴﹣a＞1，
∴a＜﹣1
故答案为a＜﹣1．
11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可先画出图形，从而由条件得出，两边平方进行数量积的运算即可得出，根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可得出，从而便可得出的最小值．
【解答】解：如图，
根据条件：
；
∴
=
=
=
=；
∴；
即的最小值为．
故答案为：．
12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据x•f'（x）＞0恒成立得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（﹣a﹣2b）≤3，得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出的取值范围．
【解答】解：由x•f'（x）＞0恒成立可得：
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又∵a，b为非负实数，
∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，
得到如图的阴影部分区域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域内的点与P（﹣1，﹣2）连线的斜率，
结合图形可知：kPB是最小值，kPA是最大值，
由斜率公式可得：kPA==3，kPB==，
故的取值范围为[，3]
故答案为：
13．在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为 12 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．可得：a1=＞0，可得q＞1．则2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：∵2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．
∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，
∴a1=＞0，可得q＞1．
则2a5+a4===，
设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，
由y′=1﹣3x2=0，解得x=．
可得x=时，y取得最大值，ymax=．
∴2a5+a4的最大值为=12．
故答案为：12．
14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是 （，1） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，
而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，
∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，
易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），
设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），
y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，
解得，x=1，故kAC=﹣1；
设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），
y′=2x+，
故2x+=，
解得，x=﹣1；
故kAB=﹣2+=﹣，
故﹣1＜﹣k＜﹣，
即＜k＜1；
故答案为（，1）．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知函数f（x）=•﹣， =（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．
（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；
（2）在△
ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量的数量积与三角函数的恒等变换，求出f（x）的解析式，再求f（x）在[0，]取值范围即可；
（2）利用f（B）=0求出B的值，再由余弦定理求出b的值．
【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），
∴f（x）=•﹣
=sinxcosx﹣cos2x﹣
=sin2x﹣cos2x﹣1
=sin（2x﹣）﹣1，…4分
∵x∈[0，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分
（2）因为f（B）=0，即sin（2B﹣）=1，
∵B∈（0，π），∴2B﹣∈（﹣，），
∴2B﹣=，解得B=；…10分
又有c=2，a=3，
在△ABC中，由余弦定理得：
b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，
即b=．…14分．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．
【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面BB1C1C．
（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面BB1C1C，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD．
【解答】（本题满分为14分）
证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，
又∵N分别为线段AC1的中点．
∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点，…2分
∵M为线段A1B的中点，
∴MN∥BC，…4分
又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C…6分
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分
∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，
∴AD⊥平面BB1C1C，…10分
又∵BC⊂平面BB1C1C，
∴AD⊥BC，…12分
又由（1）知，MN∥BC，
∴MN⊥AD…14分
17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．
（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，S=+
=800x+1600sinx（0≤x≤π）；
（2）S′=800+1600cosx，
∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，
∴x=，S取得最大值+800m2．
18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈
R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，由题意求出D、F，求出f（0）的值后代入圆的方程求出F，可得圆C的方程；
（2）由f（x）=0得求出A、B的坐标，由条件设出PA、PB的方程和点M、N的坐标，由结论求出MN为直径的圆方程，根据点P的任意性列出方程组，求出定点的坐标即可．
【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，
所以D=2，F=﹣1，
由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，
令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，
代入解得E=0，
所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0； …6分
（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，
不妨设A（，0），B（，0），
设直线PA的方程：y=k（x++1），
因以MN为直径的圆经过线段AB上点，
所以直线PB的方程：，
设M（2，k（3+）），N（2，），
所以MN为直径的圆方程为，
化简得，，
由P点任意性得：，解得x=，
因为，所以x=，
即过线段AB上一定点（，0）…16分．
19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．
（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；
（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，利用f'（x）≥0得对于一切实数都成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可得到c的取值范围．
（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，通过F（x）=0得，整理得，构造函数
，通过导数求出导数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），
所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，
由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…
再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，
而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，
所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即
．
所以c的取值范围是…
（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…
令，则h'（x）=2（x2+2x﹣3）e2x=2（x+3）（x﹣1）e2x，
令h'（x）=0，解得x=﹣3或x=1，
列表得：
x
（﹣∞，﹣3）
﹣3
（﹣3，1）
1
（1，+∞）
h'（x）
+
0
﹣
0
+
h（x）
增
极大值
减
极小值
增
由表可知当x=﹣3时，h（x）取得极大值；…
当x=1时，h（x）取得极小值．
又当x＜﹣3时，，所以此时h（x）＞0，
故结合图象得c的取值范围是…
20．设各项均为正数的数列{an}满足=pn+r（p，r为常数），其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{an}是等差数列；
（2）若p=，a1=2，求数列{an}的通项公式；
（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）利用递推关系即可得出；
（2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出；
（3）利用递推关系，对q分类讨论即可得出．
【解答】（1）证明：由p=1，r=0，得Sn=nan，
∴Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1（n≥2），
两式相减，得an﹣an﹣1=0（n≥2），
∴{an}是等差数列．
（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，
则Sn=an， an﹣1，
两式相减， =，
∴an=•…
=•…•2=n（n+1），
化简得an=n2+n（n≥2），
又a1=2适合an=n2+n（n≥2），
∴an=n2+n．
（3）解：由（2）知r=1﹣p，
∴Sn=（pn+1﹣p）an，得Sn﹣1=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），
两式相减，得p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），
易知p≠0，∴=．
①当p=时，得=，
∴===…==，
满足a2016=2016a1，pr=．
②当p时，由p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），又an＞0，
∴p（n﹣1）an＜pnan﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．
③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；
综上所述，p=r=，∴pr=．
2017年3月31日