【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第八章41立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直作业 6页

‎【课时训练】第41节　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 一、选择题 ‎1．(2018唐山统考)若向量a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，如果a与b为共线向量，则(　　)‎ A．x＝1 B．x＝ C．x＝ D．x＝－ ‎【答案】C ‎【解析】∵a与b共线，∴＝＝.‎ ‎∴x＝.‎ ‎2．(2018鞍山模拟)已知向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－‎2a，则x＝　(　　)‎ A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由b＝x－‎2a，得x＝‎4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．‎ ‎3．(2018珠海模拟)空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为(　　)‎ A．共线　　　 B．共面 C．不共面 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】 ＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，‎ ‎－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立，知A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y (x，y为实数)，‎ 即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面．故选C.‎ ‎4．(2018山东德州模拟)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)．若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)‎ A．9 B．－9　‎ C．－3 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ ‎∴解得λ＝－9.‎ ‎5．(2018合肥模拟)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B．a2‎ C．a2 D．a2‎ ‎【答案】C ‎【解析】·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.‎ ‎6．(2018武汉模拟)若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 ‎【答案】C ‎【解析】∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1与n2不垂直．又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直．‎ ‎7．(2018河北邯郸一模)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c ‎【答案】A ‎【解析】＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ ‎8．(2018安徽安庆二模)如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ A. B． C．1 D． ‎【答案】D ‎【解析】∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－.故||＝.‎ 二、填空题 ‎9．(2018四川宜宾模拟)已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】cos〈a，b〉＝＝－.‎ ‎10．(2018菏泽模拟)在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足点Q的坐标为________________．‎ ‎【答案】(0，，)‎ ‎【解析】由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影，所以垂足点Q的坐标为(0，，)．‎ ‎11．(2018山东淄博模拟)已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)．若＝2，则||的值是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设点P的坐标为(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x,3－y,4－z)，由＝2，得点P的坐标为，又D(1,1,1)，∴||＝.‎ ‎12．(2018柳州模拟)在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，‎ 则实数x的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意知·＝0，||＝||，又＝(6，－2，－3)，＝(x－4,3，－6)，‎ ‎∴解得x＝2.‎ 三、解答题 ‎13．(2018河北八市重点高中质检)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．‎ ‎(1)求证：AC⊥SD；‎ ‎(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．‎ ‎【证明】(1)连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意，知SO⊥平面ABCD.‎ 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．‎ 设底面边长为a，则高SO＝a，‎ 于是S，D，‎ B，C，则＝，＝，‎ 所以·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.‎ ‎(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：‎ 由已知条件，知是平面PAC的一个法向量，且＝， ＝，＝.　‎ 设＝t，则＝＋＝＋t＝，‎ 而·＝0⇒t＝，‎ 即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.‎ 而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.‎