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- 2021-04-16 发布
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数学
一、单选题
1．已知向量，，若，则实数a的值为
A． B．2或 C．或1 D．
2．设，，，若，则与的夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是（ ） A． B． C． D．
4．从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A． B． C． D．
5．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
A．B．
C． D．
6．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件 ①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有（ ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
7．若，，均为实数，则下面三个结论均是正确的：
①；②；③若，，则；
对向量，，，用类比的思想可得到以下四个结论：
①；②；③若，，则；其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
8．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：
以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是（ ）
A．平均数相同 B．中位数相同 C．众数不完全相同 D．丁的方差最大
10．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
11．已知A是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数x，总有成立，则的最小值为（ ）A． B． C． D．
12．如图，在半径为1的扇形AOB中（O为原点），．点P（x，y）是弧上任意一点，则xy+x+y的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、 填空题
13．已知，则________.
14．从某单位45名职工中随机抽取6名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这6名职工.选取方法是先将45名职工编号，分别为01，02，03，…，45，然后从下面的随机数表第一行的第5列的数字7开始由左到右依次选取两个数字，从而确定6个个体的编号，则选出的第6个职工的编号为______________.
15．如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的.现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为______.
16．关于函数有下列四个结论：
① 是偶函数 ② 在区间单调递减
③ 在区间上的值域为 ④ 当时，恒成立
其中正确结论的编号是____________（填入所有正确结论的序号）．
三、解答题
17(10分)．已知角的终边经过点
（1）求的值；
（2）求的值
18(12)．设两个向量，，满足，.
(1)若，求、的夹角；
(2)若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
19．某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
销量（百台）
0.6
0.8
1.2
1.6
1.8
（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；
（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
有购买意愿对应的月份
7
8
9
10
11
12
频数
60
80
120
130
80
30
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据：线性回归方程，其中，.
20．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.
（1）求图中的值；
（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
（3）在，这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.
21．已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
（1）求的解析式；
（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，试写出函数的解析式．
（3）在（2）的条件下，若存在，使得不等式成立，求实数的最小值．
22．如图，点在直径的半圆上移动（点不与，重合），过作圆的切线，且，.过点作于点.
（1）求三角形的面积（用表示）；
（2）当为何值时，四边形的面积最大？
（3）求的取值范围.
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．C
5．B
6．A
7．A
8．A
9．D
10．B
11．C
12．D
13．
14．35
15．
16．① ③ ④
17．（1）（2）
18．(1)；(2)且.
19．（1）；2.16（百台）；（2）
20．(1) (2)390分钟. (3)
21．（1）；（2）；（3）.
22．（1）；（2）时，四边形的面积最大；（3）