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- 2021-04-16 发布
2019—2020学年第一学期高二期中考试数学学科试题
（本试卷满分150分，考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，请将答案写在答题卡相应位置上.
1. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
2. 与的等比中项是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m的值为（ ）
A.8 B.4 C.8或4 D. 以上答案都不对
4. “”是“直线与互相平行”的（ ）
条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D. 既不充分也不必要
5. 已知数列是递增的等比数列，，则的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. D.
6. 若椭圆（其中的离心率为，两焦点分别为为椭圆上一点，
且的周长为16，则椭圆C的方程为 （ ）
A. B. C. D.
7. 若正数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次
差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，
亦依等次更给．问：每等人比下等人多得几斤？”（ ）
A. B. C. D.
9. 若关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费
与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用和分别为2万元和
8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（ ）km处.
A.4 B.5 C.6 D. 7
11 设（），则等于（ ）
A. B. C. D.
12. 已知等差数列首项为a，公差为1，，若对任意的正整数n都有，则
实数a的取值范围是（ ）
A. B.（－4，－3） C. D. （－5，－4）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请将答案写在答题卡相应位置上.
13. 命题：的否定为 .
14. 在等比数列中，，且，，则＝________.
15. 已知椭圆的方程为（，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，
Q两点，直线与x轴交于点M，若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
16. 已知，且，则的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请将答案写在答题卡相应位置上.
17.（本小题满分10分）
已知关于x的不等式：.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集.
18.（本小题满分12分）
在等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求a的取值范围.
（2）当时，恒成立，求x的取值范围.
20.（本小题满分12分）
某地区现有一个直角梯形水产养殖区，，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在内试验养殖一种新的水产品，当的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小.设.
（1）若P是EF的中点，求d的值；
A
B
C
D
E
F
P
（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求面积的最小值.
21.（本小题满分12分）
在数列中，已知，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和.
22.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上位于x轴上方一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设.
x
y
O
F2
F1
P
Q
（1）若点P的坐标为（2，3），求椭圆C的方程及的值；
（2）若，求椭圆C的离心率的取值范围.
2019—2020学年第一学期高二期中考试数学学科
试题答案
一、选择题：
1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D
7.A 8.B 9.A 10.B 11.D 12.D
二、填空题：
13. 14. 15. 16.－25
三、解答题：
17.解：（1）当时，原不等式化为
解之得：……………………………………………………4分
所以不等式的解集是…………………………………………………………5分
（2）当时，原不等式可化为
若，则原不等式可化为……………………………………………6分
若，则或………………………………………………………………………7分
若，则或…………………………………………………………………8分
综上所述：当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是；………………………………………10分
18.解：（1）设数列的公差为d
………………2分
……………………………………………………………………………4分
（2）由，得
……………………………………………………………………6分
……………………………………………………………………8分
……………………10分
………………………………………………………………………11分
………………………………………………………………………12分
19.解：（1）函数，当时，恒成立
对任意恒成立………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………4分
化简得
解得：…………………………………………………………………………………6分
（2）设
则由题可得：当时，恒有
…………………………………………………………………………………………8分
即解得…………………………………………10分
即……………………………………………………………………11分
x的取值范围是………………………………………………12分
20.解：（1）以A为坐标原点，AB所在
直线为x轴，建立如图所示的平面直角
坐标系………………………………………1分
则
则AC所在直线方程为，AD所在直线方程为.………………………………3分
设.
是EF的中点，，解得，…………………………………4分
.……………………………………………………………5分
（2）经过点P，
，化简得.………………………………………6分
由基本不等式得
即，当且仅当时等号成立.…………………………………………7分
…………………………………………………………8分
………………………9分
此时，…………………………………………………………10分
故对原有水产品养殖的影响最小时，.………………………………………11分
面积的最小值为192000 m2.………………………………………………………………12
分
21. 解：（1）
…………………………………………………………………………2分
且……………………………………………………………3分
……………………………………………………………………………………4分
数列是以为首项，为公比的等比数列. ………………………………………5分
（2）由（1）可得：…………………………………………6分
…………………………………………………………………………7分
……………………………………8分
令
…………………………………………11分
……………………………………………………………12分
22.解：（1）轴，且点P的坐标为（2，3）
，………………………………………………………1分
解得：…………………………………………………………………2分
椭圆C的方程为…………………………………………………………3分
，直线的方程为…………………………………………4分
将代入椭圆方程，解得………………………5分
……………………………………………6分
（2）由题可设，设
在椭圆上，，解得，即………………………7分
，由得：
解得
………………………………………………………………9分
在椭圆上
即
………………………………………………………………10分
………………………………………………………………11分
解得：
故椭圆C的离心率有取值范围是.………………………………………12分