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- 2021-04-16 发布
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定方法
如果函数在上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即 (或) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.
反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续, 在内可导.
(1)如果在内, 那么函数在上单调增加;
(2)如果在内, 那么函数在上单调减少.
证明 只证(1)（（2）可类似证得）
在上任取两点, 应用拉格朗日中值定理, 得到
.
由于在上式中, 因此, 如果在内导数保持正号,
即, 那么也有, 于是
从而，因此函数在上单调增加. 证毕
例3-19 判定函数在上的单调性.
解 因为在内,
所以由判定法可知函数在上单调增加.
例3-20 讨论函数的单调性.
解 由于 且函数的定义域为
令, 得, 因为在内, 所以函数在上单调减少; 又在内, 所以函数在上单调增加.
例3-21 讨论函数的单调性.
解: 显然函数的定义域为, 而函数的导数为
所以函数在处不可导.
又因为时,, 所以函数在上单调减少;
因为时, , 所以函数在上单调增加.
说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程的根及导数不存在的点来划分函数的定义区间, 就能保证在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数在每个部分区间上单调.
例3-22. 确定函数的单调区间.
解 该函数的定义域为.
而,令, 得.
列表
+
-
+
↗
↘
↗
函数f(x)在区间和内单调增加, 在区间上单调减少.
例3-23讨论函数的单调性.
解 函数的定义域为
函数的导数为:, 除时, 外, 在其余各点处均有 因此函数在区间上单调减少;
因为当时, , 所以函数在及上都是单调增加的. 从而在整个定义域内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线.
说明:一般地, 如果在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
例3-24 证明: 当时, .
证明: 令, 则
因为当时,, 因此在上单调增加, 从而当时, ,又由于, 故,
即, 也就是,().
二、函数的凹凸性与拐点
在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，
图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义3-6-1 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点 , 恒有
那么称在I上的下凸函数; 如果恒有
那么称在I上的上凸函数.
函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性
二、判定函数的凸性的充分条件
定理 设在上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么
(1)若在内, 则在上是下凸的;
(2)若在内 , 则在上是上凸的.
证明 只证(1)((2)的证明类似). 设, 记.
由拉格朗日中值公式, 得
,
,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
,
即, 所以在上的图形是凹的.
拐点: 连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点.
确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求出在二阶导数 ;
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点;
注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略.
例3-34 判断曲线的凸性.
解: 因为 , . 令 得,
当时, , 所以曲线在内为上凸的;
当时,, 所以曲线在内为下凸的.
例3-35 求曲线的拐点及凸性区间.
解: (1)函数的定义域为;
(2) ,;(3)解方程, 得, ;
(4)列表判断:
在区间和上曲线是下凸的, 在区间上曲线是上凸的. 点 和是曲线的拐点.
例3-36 问曲线是否有拐点？
解 , .
当时, , 在区间内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点.
例3-37 求曲线的拐点.
解 (1)函数的定义域为;
(2) , ;
(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为 ;
(4)判断: 当时,; 当时, 因此, 点是曲线的拐点.
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
示意图
令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)
上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。