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- 2021-04-16 发布
2016-2017学年河南科大附中高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知数列{an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C． D．2，0，2，0
2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，n∈N*，则a101的值为（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．
7．在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B． C． D．
9．直线l过双曲线﹣=1的右焦点，斜率k=2．若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围（ ）
A．e＞ B．1＜e＜ C．1＜e＜ D．e＞
10．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
11．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a B．2（a﹣c）
C．2（a+c） D．以上答案均有可能
12．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ．
14．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C= ．
15．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是 ．
16．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三.解答题
17．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求边长c的值及△ABC的面积．
18．经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB中点
（1）求直线L的方程；
（2）求线段AB的长．
19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
20．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
21．已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b的长．
22．设椭圆E： +=1（a＞b＞0）过A（0，﹣1），焦点为F1，F2，椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个．
（1）求椭圆E的方程及离心率e；
（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．
2016-2017学年河南科大附中高二（上）9月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知数列{an）的通项公式为，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1，0，1，0 B．0，l，0，l C． D．2，0，2，0
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】利用公式，将n=1，2，3，4分别代入计算即可．
【解答】解：由通项公式，得
当n=1时，a1==1，
当n=2时，a1==0，
当n=3时，a1==1，
当n=4时，a1==0，
即数列{an}的前4项依次为1，0，1，0．
故选A．
2．在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【考点】余弦定理．
【分析】直接利用余弦定理以及特殊角的三角函数值就可得出答案．
【解答】解：根据余弦定理得cosB===
B∈（0，180°）
∴B=60°
故选C．
3．已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】先根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，椭圆的方程可得．
【解答】解：已知椭圆的离心率为，焦点是（﹣3，0），（3，0），则c=3，a=6，b2=36﹣9=27，
椭圆的方程为，
故选A．
4．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【分析】根据B的度数求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，然后根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：由a=，b=，B=45°，
根据正弦定理得：，
所以，又A∈（0，180°），
所以A等于60°或120°．
故选D
5．在数列{an}中，a1=2，2an+1=2an+1，n∈N*，则a101的值为（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【考点】数列递推式．
【分析】先利用递推关系得出其为等差数列，再代入等差数列的通项公式即可．
【解答】解：由2an+1=2an+1，得an+1﹣an=，
故为首项为2，公差为的等差数列，所以a101=a1+100d=2+100×=52．
故选 D．
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．m﹣a B． C．m2﹣a2 D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．
【分析】由题意知|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a，由此可知|PF1|•|PF2|==m﹣a．
【解答】解：∵椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，
P是两曲线的一个交点，
∴|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，
|PF1|•|PF2|==m﹣a．
故选A．
7．在△ABC中，若b，a，c成等差数列，且sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】由三角形的三边成等差数列，根据等差数列的性质得到b+c=2a，记作①，再由sinA，sinB及sinC成等比数列，根据等比数列的性质得到一个关系式，利用正弦定理化简sin2A=sinBsinC得到关于a，b及c的关系式，记作②，联立①②消去a得到关于b与c的关系式，变形可得出b=c，从而得到a，b及c都相等，故三角形为等边三角形．
【解答】解：∵△ABC的三边b，a，c成等差数列，
∴b+c=2a①，
又sin2A=sinBsinC，
根据正弦定理化简得：a2=bc②，
由①得：a=，代入②得：
=bc，即（b﹣c）2=0，
∴b=c，故a=b=c，
则三角形为等边三角形．
故选：C．
8．已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B． C． D．
【考点】余弦定理．
【分析】根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．
【解答】解：∵三角形为锐角三角形，
∴三角形的三个内角都为锐角，
则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，
即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；
设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，
即x2＜13，解得0＜x＜，
则x的取值范围是＜x＜．
故选B
9．直线l过双曲线﹣=1的右焦点，斜率k=2．若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围（ ）
A．e＞ B．1＜e＜ C．1＜e＜ D．e＞
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．
【解答】解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线﹣=1的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即＞2，
因此该双曲线的离心率e=═＞
故选：D．
10．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，
∴S=bcsinA=c=，即c=4，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，
∴a=，
由正弦定理得： ===2R==，
则=2R=．
故选B
11．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ ）
A．4a B．2（a﹣c）
C．2（a+c） D．以上答案均有可能
【考点】椭圆的应用．
【分析】（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；
（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；
（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a．
【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；
（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；
（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．
由于三种情况均有可能，
故选D．
12．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±y=0 D． x±y=0
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】假设|F1P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c2+5a2=14a2﹣2c2，求得a和c的关系，进而根据b=求得a和的关系进而求得渐近线的方程．
【解答】解：假设|F1P|=x
OP为三角形F1F2P的中线，
根据三角形中线定理可知
x2+（2a+x）2=2（c2+7a2）
整理得x（x+2a）=c2+5a2
由余弦定理可知
x2+（2a+x）2﹣x（2a+x）=4c2
整理得x（x+2a）=14a2﹣2c2
进而可知c2+5a2=14a2﹣2c2
求得3a2=c2
∴c=a
b=a
那么渐近线为y=±x，即x±y=0
故选D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 4 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设另一个焦点为F，根据椭圆的定义可知|AB|+|BF|=2a，|AC|+|FC|=2a最后把这四段线段相加求得△ABC的周长．
【解答】解：椭圆+y2=1的a=．
设另一个焦点为F，则根据椭圆的定义可知
|AB|+|BF|=2a=2，|AC|+|FC|=2a=2．
∴三角形的周长为：|AB|+|BF|+|AC|+|FC|=4．
故答案为：4．
14．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C= 45° ．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C是△ABC的内角，可求得C的值．
【解答】解：由题意，
∵
∴cosC=sinC
∵C是△ABC的内角
∴C=45°
故答案为：45°
15．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度是 60m ．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】三角形内角和定理算出C，在△ABC中由正弦定理解出BC，利用三角形面积公式进行等积变换，即可算出题中所求的河宽．
【解答】解：由题意，可得C=180°﹣A﹣B=180°﹣30°﹣75°=75°
∵在△ABC中，由正弦定理得
∴BC==
又∵△ABC的面积满足S△ABC=AB•BCsinB=AB•h
∴AB边的高h满足：h=BCsinB=•sin75°=60（m）
即题中所求的河宽为60m．
故答案为：60m．
16．已知两个点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“B型直线”，给出下列直线：①y=x+1；②；③y=2；④y=2x+1．其中为“B型直线”的是 ①③ ．（填上所有正确结论的序号）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题设条件可知点P的轨迹方程是（x＞0），将直线①，②，③，④的方程分别与（x＞0）联立，若方程组有解，则该直线为“B型直线”．
【解答】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即（x＞0），
①，把y=x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得7x2﹣18x﹣153=0，∵△=（﹣18）2﹣4×7×（﹣153）＞0∴y=x+1是“B型直线”．
②，把y=x代入双曲线（x＞0）并整理，得144=0，不成立．∴y=x不是“B型直线”．
③，把y=2代入双曲线（x＞0）并整理，得，∴y=2是“B型直线”．
④，把y=2x+1代入双曲线（x＞0）并整理，得20x2+36x+153=0，∵△=362﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“B型直线”．
答案：①③．
三.解答题
17．在锐角三角形中，边a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）﹣=0，求边长c的值及△ABC的面积．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】利用特殊角的三角函数值，可求C，再利用韦达定理及余弦定理可求c的值，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．
【解答】解：由2sin（A+B）﹣=0，得sin（A+B）=，
∵△ABC为锐角三角形，∴A+B=120°，∴C=60°，
又∵a、b是方程x2﹣2x+2=0的两根，
∴a+b=2，a•b=2，
∴c2=a2+b2﹣2a•bcosC=（a+b）2﹣3ab=12﹣6=6，
∴c=，
△ABC的面积==×2×=．
18．经过点M（2，2）作直线L交双曲线x2﹣=1于A，B两点，且M为AB中点
（1）求直线L的方程；
（2）求线段AB的长．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）可先设A（x1，Y1），B（X2，Y2），再分别代入双曲线方程，作差即可求出直线斜率，进而可求直线方程．
（2）把（1）中所求直线方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，求x1+x2和x1x2，再利用弦长公式求线段AB的长．
【解答】解（1）设A（x1，Y1），B（X2，Y2），则x1+x2=4，y1+y2=4，由，得
（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0所以kAB==4
直线L的方程为y=4x﹣6．
（2）把y=4x﹣6．代入x2﹣=1消去y得3x2﹣12x+10=0
所以（x1+x2）=4，x1x2=，从而得|AB|=
19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．
【解答】解：如图，连接A1B2，，，
△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°
=
，．
因此乙船的速度的大小为．
答：乙船每小时航行海里．
20．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，
解得a=，又b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），
则x0==﹣，
y0=x0+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=﹣3，x2=0，
所以y1=﹣1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
21．已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b的长．
【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简两个向量，利用向量垂直的充要条件列出方程，据特殊角的三角函数值求出角．
（2）通过三角函数的平方关系求出角B的正弦，利用三角形中的正弦定理求出边b．
【解答】解：（1）=
=（sinA，1）
∵∴
∴
∵0＜A＜π，∴，∴，
∴
（2）在△ABC中，，a=2，
∴
由正弦定理知：，
∴=．
∴b=
22．设椭圆E： +=1（a＞b＞0）过A（0，﹣1），焦点为F1，F2，椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个．
（1）求椭圆E的方程及离心率e；
（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为常数．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个，可得点M必为短轴的两个端点，可得b=c=1，再利用a2=b2+c2，解得a即可得出．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1（k≠2）．代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，利用根与系数的关系与斜率计算公式即可得出．
【解答】（1）解：∵椭圆E上满足MF1⊥MF2的点M有且仅有两个，∴点M必为短轴的两个端点，
∴b=c=1，由a2=b2+c2，解得a=，
∴椭圆的方程为+y2=1．
∴．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0．由题设知，直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1（k≠2）．
代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，
由已知△＞0．
则x1+x2=，x1x2=，
从而直线AP与AQ的斜率之和=kAP+kAQ=+=+=2k+（2﹣k）=2k+（2﹣k）×=2k﹣（2k﹣1）=2．
即直线AP与AQ的斜率之和为常数2．