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- 2021-04-16 发布
江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设，，则的元素个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．无数个
2.已知为虚数单位，若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3.随机变量，则（ ）
A．0.0215 B．0.1359 C．0.1574 D．0.2718
（参考数据：，，）
4.在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C.锐角三角形 D．等边三角形
5.按下图所示的程序框图运算：若输出，则输入的取值范围是（ ）
A. B． C. D．
6.已知数列满足：当时，，则的前10项和（ ）
A．31 B．62 C. 170 D．1023
7.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C. D．
8.已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C. D．
9.平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的区域面积等于3，则的值为（ ）
A．-5 B．-2 C.2 D．5
10.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点的坐标为，点位于第一象限，，若，则（ ）
A． B． C. D．
11.如图1，已知正方体的棱长为，动点分别在线段上，
，上，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设，则 ．
14.关于的方程有三个不同示数解，则实数的取值范围为 ．
15.已知外接圆的圆心为，且，则 ．
16.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知为数列的前项和满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.
（Ⅰ）求出上表中的的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序．已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一（2）班在决赛中进入前三位的人数为，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由
21.（本小题满分12分）
已知函数，在处的切线与直线垂直，函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（为参数），曲线（为参数）.
（Ⅰ）设与相交于两点，求；
（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 31 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）当时，，因为，所以，
当时，，
即，因为，所以所以数列是首项为3，公差
18.（Ⅰ）由题已知，由上的数据，
根据样本容量，频率和频数之间的关系得到，
，，，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人，
①设“甲不在第一位，乙不在第六位”为事件，
则，所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为.
②随机变量的可能值为0,1,2
，，，
0
1
2
因为，所以随机变量的数字期望为1.
19.（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形.
取中点，连，，
则，，则，则.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，
所以，如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，因为
，，
所以，取.
设平面的法向量为，因为，，
所以，取.
则，因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以，所以.
所以的方程为.
（2）设点，，设直线的方程为，
与椭圆方程联立得，
化简得到，因为-4为方程的一个根，
所以，所以
所以
因为圆心到直线的距离为，
所以.
因为，
代入得到，
显然，所以不存在直线，使得.
21.解：（Ⅰ），
与直线垂直，，.
（Ⅱ），所以令，
，.
.
，所以设，，
，所以在单调递减，
又，，
即.
，，，，
故所求的最小值是.
22.（Ⅰ）直线的普通方程为，的普通方程.
联立方程组，解得与的交点为，，则.
（Ⅱ）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标是，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为.
23.解：（1），
当，，，
当，，，
当，，，
综上所述.
（2）易得，若，恒成立，
则只需，
综上所述.