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- 2021-04-16 发布
2016-2017 学年山西省晋中市平遥中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题意要求的.
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2．若三点 A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数 m 的值是（ ）
A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如右图所示的一个正方
形，则原来的图形为（ ）
A． B． C． D．
4．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0 B．x+y+3=0
C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0 或 2x+y=0
5．某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示，则在图 2 的四个图中可以作为
该几何体的俯视图的是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
6．设点 A（3，﹣5），B（﹣2，﹣2），直线 l 过点 P（1，1）且与线段 AB 相交，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A．k≥1 或 k≤﹣3 B．﹣3≤k≤1 C．﹣1≤k≤3 D．以上都不对
7．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3
8．已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称，
则圆 C2 的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1
D．（x﹣2）2+（y+2）2=1
9．如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF=
，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面 ABCD
C．三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值
D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
10．若圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1 始终平分（x+1）2+（y+1）2=4 的周长，则
a，b 应满足的关系式（ ）
A．a2﹣2a﹣2b﹣3=0 B．a2+2a+2b+5=0
C．a2+2b2+2a+2b+1=0 D．3a2+2b2+2a+2b+1=0
11．在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0
（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=2 D．（x﹣1）2+y2=
12．已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且
和球心 O 在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于
，则球 O 的体积等于（ ）
A． B． C． D ．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．两圆 C1 ：x2+y2+2x+2y﹣2=0，C2 ：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有
条．
14．圆 x2+（y+1）2=3 绕直线 kx﹣y﹣1=0 旋转一周所得的几何体的表面积为 ．
15．若直线 l 与平面 α 相交于点 O，A，B∈l，C，D∈α，且 AC∥BD，则 O，C，D
三点的位置关系是 ．
16．已知圆 C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆 C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N
分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
三、解答题：本大题有 6 小题，共 70 分
17．（10 分）已知直线 l1：ax+by+1=0，（a，b 不同时为 0），l2：（a﹣2）
x+y+a=0，
（1）若 b=0 且 l1⊥l2，求实数 a 的值；
（2）当 b=3 且 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．
18．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，A1B1=A1C1，D，E 分别是棱
BC，CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
（1）平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
（2）直线 A1F∥平面 ADE．
19．（12 分）已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线 l：（2m+1）x+（m+1）
y﹣7m﹣4=0（m∈R）．
（1）求证：直线 l 恒过定点；
（2）判断直线 l 与圆 C 的位置关系；
（3）当 m=0 时，求直线 l 被圆 C 截得的弦长．
20．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为
O，且 AO⊥平面 BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高．
21 ． （ 12 分 ） 已 知 m ∈ R ， 直 线 l ： mx﹣ （ m2+1 ） y=4m 和 圆 C ：
x2+y2﹣8x+4y+16=0．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
（2）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？
22．（12 分）如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠ABC=60°．将菱形 ABCD
沿对角线 PA 折起得到三棱锥 D﹣ABC，设二面角 D﹣AC﹣B 的大小为 θ．
（1）当 θ=90°时，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值；
（2）当 θ=60°时，求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值．
2016-2017 学年山西省晋中市平遥中学高二（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题意要求的.
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱
【考点】棱台的结构特征．
【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．
【解答】解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；
图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；
图③是棱锥．
图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平
行，所以④是棱柱．
故选 C．
【点评】本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概
念．
2．若三点 A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数 m 的值是（ ）
A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【考点】三点共线．
【分析】直线斜率存在时，用直线的斜率相等即可解题．
【解答】解：由题意知，直线的斜率存在
∴KAB=KAC
即： ，
∴m=﹣6
故选 C．
【点评】本题考查点共线问题，直线斜率的表示．属简单题．
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如右图所示的一个正方
形，则原来的图形为（ ）
A． B ．
C． D．
【考点】平面图形的直观图．
【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，则问题
可求．
【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段 C′B′∥x′轴，所以在
原图形中对应的线段平行于 x 轴且长度不变，点 C′
和 B′在原图形中对应的点 C 和 B 的纵坐标是 O′B′的 2 倍，
则 OB=2 ，所以 OC=3，
故选：A．
【点评】本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键
是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．
4．过点（3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x+y=0 B．x+y+3=0
C．x﹣y+3=0 D．x+y+3=0 或 2x+y=0
【考点】直线的截距式方程．
【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线
的方程为 x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可得 k 值，从而求得所求的直
线方程，综合可得结论．
【解答】解：当直线过原点时，方程为 y=﹣2x，即 2x+y=0．
当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y=k，把点（3，﹣6）代入直线的方程可
得 k=﹣3，
故直线方程是 x+y+3=0．
综上，所求的直线方程为 x+y+3=0 或 2x+y=0，
故选：D．
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意
当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．
5．某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示，则在图 2 的四个图中可以作为
该几何体的俯视图的是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】由于几何体正视图与侧视图上部都是圆，下部都是正方形，推测出其几
何特征，再对照所给的四个俯视图即可选出正确选项
【解答】解：由几何体的正视图与侧视图可得出，此几何体上部一定是一个球，
下部可以是一个正方体，或是一个圆柱体，故（1），（3）一定正确，
第二个几何体不符合要求的，这是因为球的投影不在正中，第四个不对的原因与
第二个相同
综上，A 选项符合要求
故选 A
【点评】本题考查由三视图，解题的关键是根据正视图与侧视图推测出几何体的
几何特征，属于基本题型
6．设点 A（3，﹣5），B（﹣2，﹣2），直线 l 过点 P（1，1）且与线段 AB 相交，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A．k≥1 或 k≤﹣3 B．﹣3≤k≤1 C．﹣1≤k≤3 D．以上都不对
【考点】直线的斜率．
【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出．
【解答】解：kPA= =﹣3，kPB= =1．
∵直线 l 过点 P（1，1）且与线段 AB 相交，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≥1 或 k≤﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系及其性质，考查了推理能力与计
算能力，属于基础题．
7．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．100 cm3 B．108 cm3 C．84 cm3 D．92 cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6 的长方体砍去一个
三棱锥，底面为直角边分别为 3，4 直角三角形，高为 4．利用长方体与三棱锥
的体积计算公式即可得出．
【解答】解：如图所示，原几何体为：
一个长宽高分别为 6，3，6 的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为 3，4
直角三角形，高为 4．
因此该几何体的体积=3×6×6﹣ × ×3×4×4
=108﹣8
=100．
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到
该几何体的形状．
8．已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x﹣y﹣1=0 对称，
则圆 C2 的方程为（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1
D．（x﹣2）2+（y+2）2=1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【分析】在圆 C2 上任取一点（x，y），求出此点关于直线 x﹣y﹣1=0 的对称点，
则此对称点在圆 C1 上，再把对称点坐标代入
圆 C1 的方程，化简可得圆 C2 的方程．
【解答】解：在圆 C2 上任取一点（x，y），
则此点关于直线 x﹣y﹣1=0 的对称点（y+1，x﹣1）在圆 C1：（x+1）2+（y﹣1）
2=1 上，
∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，
即 （x﹣2）2+（y+2）2=1，
∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．
故选：D．
【点评】本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆 C2 上任取一
点（x，y），则此点关于直线 x﹣y﹣1=0 的对称点（y+1，x﹣1）在圆 C1 上．考
查计算能力．
9．如图正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF=
，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面 ABCD
C．三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值
D．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】连结BD，则 AC⊥平面 BB1D1D，BD∥B1D1，点 A、B 到直线 B1D1 的距离
不相等，由此能求出结果．
【解答】解：连结 BD，则 AC⊥平面 BB1D1D，BD∥B1D1，
∴AC⊥BE，EF∥平面 ABCD，三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值，
从而 A，B，C 正确．
∵点 A、B 到直线 B1D1 的距离不相等，
∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，
故 D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思
维能力的培养．
10．若圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1 始终平分（x+1）2+（y+1）2=4 的周长，则
a，b 应满足的关系式（ ）
A．a2﹣2a﹣2b﹣3=0 B．a2+2a+2b+5=0
C．a2+2b2+2a+2b+1=0 D．3a2+2b2+2a+2b+1=0
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1 始终平分（x+1）2+（y+1）2=4 的周长，
可得两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4 的圆心（﹣1，﹣1），两圆相减可
得公共弦，将（﹣1，﹣1）代入可得结论．
【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1 始终平分（x+1）2+（y+1）2=4 的周
长
∴两圆交点的直线过（x+1）2+（y+1）2=4 的圆心（﹣1，﹣1）
两圆方程相减可得：（2+2a）x+（2+2b）y﹣a2﹣1=0
将（﹣1，﹣1）代入可得﹣2﹣2a﹣2﹣2b﹣a2﹣1=0
即 5+2a+2b+a2=0
故选 B
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0
（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=4 C．（x﹣1）2+y2=2 D．（x﹣1）2+y2=
【考点】圆的标准方程．
【分析】求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【 解 答 】 解 ： 圆 心 （ 1 ， 0 ） 到 直 线 mx﹣y﹣2m﹣1=0 的 距 离 d=
≤ ，
∴m=1 时，圆的半径最大为 ，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能
力，是基础题．
12．已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面 ABCD 是正方形且
和球心 O 在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于
，则球 O 的体积等于（ ）
A． B． C． D ．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表
面积等于 ，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为 R，
从而可求球的体积．
【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于 ，
设球 O 的半径为 R，则 AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为 AB= ，
则 有 +4 × × =
，
∴R=
∴球 O 的体积是 = ．
故选 B．
【点评】本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利
用公式求解．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．两圆 C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的公切线有且仅有 2
条．
【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条
数．
【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是 2，2
两圆圆心距离： ，说明两圆相交，
因而公切线只有两条．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，考查计算能力，是基础
题．
14．圆 x2+（y+1）2=3 绕直线 kx﹣y﹣1=0 旋转一周所得的几何体的表面积为
12π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】直线恒过圆心，推知旋转体为球，求出球的半径，可求球的表面积．
【解答】解：显然直线过圆心（0，﹣1），故旋转一周所得几何体为球，球的半
径为 ，
∴S 球=4πR2=4π•3=12π．
故答案为 12π．
【点评】本题考查旋转体的知识，直线与圆的位置关系，考查计算能力，空间想
象能力，是基础题．
15．若直线 l 与平面 α 相交于点 O，A，B∈l，C，D∈α，且 AC∥BD，则 O，C，D
三点的位置关系是 在同一条直线上 ．
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】O，C，D 三点的位置关系是在同一条直线上．如图所示，由 AC∥BD，
可得 AC 与 BD 确定一个平面 β，于是又已知可得 α∩β=CD，再证明 O∈直线 CD
即可．
【解答】解：O，C，D 三点的位置关系是在同一条直线上．
证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC 与 BD 确定一个平面 β，
∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，
∴l⊂β，
∵l∩α=O，
∴O∈α，O∈β，
∴O=α∩β．
∵C，D∈α，∴α∩β=CD，
∴O∈直线 CD．
∴O，C，D 三点的位置关系是在同一条直线上．
故答案为在同一条直线上．
【点评】熟练掌握确定一个平面的条件及点线面的位置关系是解题的关键．
16．已知圆 C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆 C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N
分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 5
﹣4 ．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A，以及半径，然后求解圆 A
与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．
【解答】解：如图，圆 C1 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A（2，﹣3），半径为
1，圆 C2 的圆心坐标（3，4），半径为 3，
|PM|+|PN|的最小值为圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和，
即： ﹣4=5 ﹣4．
故答案为：5 ﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离
公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档
题．
三、解答题：本大题有 6 小题，共 70 分
17．（10 分）（2013 秋•新余期末）已知直线 l1：ax+by+1=0，（a，b 不同时为
0），l2：（a﹣2）x+y+a=0，
（1）若 b=0 且 l1⊥l2，求实数 a 的值；
（2）当 b=3 且 l1∥l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行
关系．
【分析】（1）当 b=0 时，l1 垂直于 x 轴，所以由 l1⊥l2 知 l2 垂直于 y 轴，由此能
求出实数 a 的值．
（2）由 b=3 且 l1∥l2，先求出 a 的值，再由两条平行间的距离公式，能求出直线
l1 与 l2 之间的距离．
【解答】（本小题满分 12 分）
解：（1）当 b=0，时，l1：ax+1=0，
由 l1⊥l2 知 a﹣2=0，…
解得 a=2．…（6 分）
（2）当 b=3 时，l1：ax+3y+1=0，
当 l1∥l2 时，有 …（8 分）
解得 a=3，…（9 分）
此时，l1 的方程为：3x+3y+1=0，
l2 的方程为：x+y+3=0，
即 3x+3y+9=0，…（11 分）
则它们之间的距离为 d= = ．…（12 分）
【点评】本题考查两条直线平行和两条直线垂直的条件的应用，解题时要认真审
题，注意两条平行线间的距离公式的灵活运用．
18．（12 分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，A1B1=A1C1，D，
E 分别是棱 BC，CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中
点．求证：
（1）平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
（2）直线 A1F∥平面 ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，得到 CC1⊥平面 ABC，从而
AD⊥CC1，结合已知条件 AD⊥DE，DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线，得到 AD
⊥平面 BCC1B1，从而平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
（2）先证出等腰三角形△A1B1C1 中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出 A1F
⊥平面 BCC1B1，结合 AD⊥平面 BCC1B1，得到 A1F∥AD，最后根据线面平行的判
定定理，得到直线 A1F∥平面 ADE．
【解答】解：（1）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，
∴CC1⊥平面 ABC，
∵AD⊂平面 ABC，
∴AD⊥CC1
又∵AD⊥DE，DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线
∴AD⊥平面 BCC1B1，
∵AD⊂平面 ADE
∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
（2）∵△A1B1C1 中，A1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点
∴A1F⊥B1C1，
∵CC1⊥平面 A1B1C1，A1F⊂平面 A1B1C1，
∴A1F⊥CC1
又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线
∴A1F⊥平面 BCC1B1
又∵AD⊥平面 BCC1B1，
∴A1F∥AD
∵A1F⊄平面 ADE，AD⊂平面 ADE，
∴直线 A1F∥平面 ADE．
【点评】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平
面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．
19．（12 分）（2016 秋•平遥县校级期中）已知圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，
直线 l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．
（1）求证：直线 l 恒过定点；
（2）判断直线 l 与圆 C 的位置关系；
（3）当 m=0 时，求直线 l 被圆 C 截得的弦长．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）把直线 l 的方程化为 m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，令
，求出方程组的解即得；
（2）根据圆 C 的圆心到定点 A 的距离 d＜r，得出 A 点在圆 C 内，直线 l 与圆 C
相交；
（3）求 m=0 时圆心 C 到直线 l 的距离，利用勾股定理求出直线 l 被圆 C 所截得
的弦长即可．
【解答】解：（1）证明：直线 l 的方程可化为：
m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，
令 ，解得 ，
∴直线 l 恒过定点 A（3，1）；
（2）圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 的圆心 C（1，2），半径 r=5，
点 A（3，1）与圆心 C（1，2）的距离 d=
= ＜5=r，
∴A 点在圆 C 内，即直线 l 与圆 C 相交；
（3）当 m=0 时，直线 l 的方程为 x+y﹣4=0，
由圆心 C（1，2）到直线 l 的距离为 d′= = ，
半径 r=5，
∴ 直 线 l 被 圆 C 所 截 得 的 弦 长 为 2 =2
=7 ．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了
直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目．
20．（12 分）（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为
菱形，B1C 的中点为 O，且 AO⊥平面 BB1C1C．
（1）证明：B1C⊥AB；
（2）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高．
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点，证明 B1C⊥平面 ABO，可得
B1C⊥AB；
（2）作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，证明△CBB1 为
等边三角形，求出 B1 到平面 ABC 的距离，即可求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高．
【解答】（1）证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点，
∵侧面 BB1C1C 为菱形，
∴BC1⊥B1C，
∵AO⊥平面 BB1C1C，
∴AO⊥B1C，
∵AO∩BC1=O，
∴B1C⊥平面 ABO，
∵AB⊂平面 ABO，
∴B1C⊥AB；
（2）解：作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面 AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面 ABC，
∵∠CBB1=60°，
∴△CBB1 为等边三角形，
∵BC=1，∴OD= ，
∵AC⊥AB1，∴OA= B1C= ，
由 OH•AD=OD•OA，可得 AD= = ，∴OH= ，
∵O 为 B1C 的中点，
∴B1 到平面 ABC 的距离为 ，
∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高 ．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生
分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（12 分）（2008•海南）已知 m∈R，直线 l：mx﹣（m2+1）y=4m 和圆 C：
x2+y2﹣8x+4y+16=0．
（1）求直线 l 斜率的取值范围；
（2）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率；直线与圆的位置关
系．
【分析】（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；
（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形
【解答】解：（1）直线 l 的方程可化为 ，此
时斜率 ，
即 km2﹣m+k=0，k=0 时，m=0 成立；
又∵△≥0，∴1﹣4k2≥0，
所以，斜率 k 的取值范围是 ．
（2）不能．由（1 知 l 的方程为 y=k（x﹣4），其中 ；
圆 C 的圆心为 C（4，﹣2），半径 r=2；圆心 C 到直线 l 的距离
由 ，得 ，即 ，
从而，若 l 与圆 C 相交，则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 ，
所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧．
【点评】本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用．
高考考点：直线与圆及不等式知识的综合应用
易错点：对有关公式掌握不到位而出错．
全品备考提示：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟
练掌握．
22．（12 分）（2014 秋•南湖区校级期末）如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中，
∠ABC=60°．将菱形 ABCD 沿对角线 PA 折起得到三棱锥 D﹣ABC，设二面角
D﹣AC﹣B 的大小为 θ．
（1）当 θ=90°时，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值；
（2）当 θ=60°时，求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）由折叠后的不变量可知，∠DOB 为二面角的平面角，然后通过取
中点的办法，得到异面直线所成的角，再通过解三角形得答案．
（2）在折叠后的图形中，作出线面角，然后通过解直角三角形得答案．
【解答】解：由题意可知二面角 D﹣AC﹣B 的平面角为∠DOB，即∠DOB=θ．
（1）当 θ=90°时，即∠DOB=90°，分别取 DC，BD 的中点 M，N，连结 OM，
MN，ON，
∵OM∥AD，MN∥BC，
∴∠OMN 为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角，
在△OMN 中，OM=2，MN=2， ，
∴ ，
即异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 ．
（2）当 θ=60°时，即∠DOB=60°，
由题意可知 AC⊥平面 DOB，△DOB 为等边三角形，
取 OB 的中点 H，则有 DH⊥平面 ABC，且 DH=3，即直线 AD 与平面 ABC 所成的
角为∠DAH，
∴ ，
即直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题考查了异面直线所成角、线面角及二面角的求法，考查了学生的空
间想象能力和思维能力，是中档题．