安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 9页

安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 映射f：A→B，在f作用下A中元素（x，y）与B中元素（x-1，3-y）对应，则与B中元素（0，1）对应的A中元素是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 函数的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知A={x|-1＜x＜k，x∈N}，若集合A中恰有3个元素，则实数k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 下列表示错误的是（　　）‎ A. B. C. D. 无理数 5. 已知集合A={x|1＜x＜2}，关于x的不等式‎2a＜2-a-x的解集为B，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 若函数y=f（x+1）的定义域是[-1，1]，则函数的定义域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 设a=log54，b=log53，c=log45，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 设‎2a=5b=m，且+=1，则m等于（　　）‎ A. B. ‎10 ‎C. 20 D. 100‎ 9. 函数f(x)＝|x-2|-lnx在定义域内的零点的个数为（）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 10. 若函数y＝ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有（    ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 11. 已知函数，若f（x）的值域为（-∞，+∞），则实数a（　　）‎ A. 2 B. C. D. ‎ 12. 当x∈（-∞，-1]时，不等式（m2‎-2m）4-x-2-x+3＜0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 函数f（x）=lg（2x2+1）的值域为______．‎ 14. 计算log29×log34+2log510+log50.25=______．‎ 15. 已知函数在（0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是______．‎ 1. 对于给定的函数f（x）=ax-a-x（x∈R，a＞0，a≠1），下列正确的是______．（只需写出所有正确的编号） ①函数f（x））的图象关于原点对称； ②函数f（x）在R上不具有单调性； ③函数f（|x|）的图象关于y轴对称； ④当a＞1时，函数f（|x|）的最大值是0； ⑤当0＜a＜1时，函数f（|x|）的最大值是0．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 2. 已知集合A={x|x＜-1，或x＞2}，B={x|2p-1＜x＜p+3}，若A∩B=B，求实数p的取值范围． ‎ 3. 设f（x）=loga（1+x）+loga（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2． （1）求a的值及f（x）的定义域； （2）求f（x）在区间[0，]上的最大值． ‎ 4. 已知函数是奇函数． （1）求实数m的值； （2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ 5. 已知函数，g（x）=ax． （1）求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）若存在x∈[1，4]，使f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围． ‎ 1. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间t（天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足f（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N），前30天价格（单位：元）为g（t）=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格（单位：元）为g（t）=40（31≤t≤50，t∈N）． （Ⅰ）写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系； （Ⅱ）求日销售额S的最大值． ‎ 2. 已知函数f（x）=x2-4x+3，g（x）=ax‎-2a+1． （1）若对任意x1∈[1，4]，总有x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围； （2）定义区间[m，n]的长度为n-m，若函数y=f（x）（x∈[1，t]）的值域区间长度为D，是否存在常数t，使得区间D的长度为5-2t？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设A中元素为（x，y），则有， 解得x=1，y=2． ∴A（1，2）． 故选C． 设A中元素为（x，y），由题设条件建立方程组能够求出A中的对应元素． 本题考查映射的概念、函数的概念，解题时要认真审题，仔细解答． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数的图象过（1，1）点， 在x＞0时，是凸函数，是增函数， 故选：B． 根据幂函数的图象和性质，分析出函数的单调性，凸凹性及所过定点，可得答案． 本题考查的知识点是函数的图象，幂函数的性质，难度不大，属于基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为A={x|-1＜x＜k，x∈N}，且集合A中恰有3个元素， 所以集合A={0，1，2}，所以2＜k≤3， 故选：C． 由x∈N，可以确定集合A中的元素，进而可以求出k的取值范围． 本题主要考查由集合中的元素个数求参数的取值范围，属于基础题． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：空集是任何集合的子集，∴∅⊆{∅}正确； 显然{1}是集合{{0}，{1}}的元素，∴{1}∈{{0}，{1}}正确； 根据并集的定义，A∪∅=A正确； ∁RQ表示无理数集，无理数不是无理数集，∴∁RQ=无理数错误． 故选：D． 根据空集是任何集合的子集可判断选项A的表示正确，根据元素与集合的关系可判断选项B的表示正确，根据并集的定义可判断选项C的表示正确，从而只能选D． 本题考查了空集是任何集合的子集，元素与集合的关系，并集的定义及运算，补集的运算，考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由‎2a＜2-a-x得a＜-a-x，则x＜‎-2a， 所以集合B={x|x＜‎-2a}， 因为集合A={x|1＜x＜2}，A∩B=A， 所以‎-2a≥2，解得a≤-1， 则实数a的取值范围是（-∞，-1]， 故选：A． 根据指数函数的性质求出集合B，根据交集的运算和条件求出实数a的取值范围． 本题考查指数函数的性质，以及交集的运算，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由函数y=f（x+1）的定义域是[-1，1]， 得-1≤x≤1， 所以0≤x+1≤2， 所以函数f（x）的定义域为[0，2]； 函数中， 令， 解得0＜x≤1， 所以函数g（x）的定义域是（0，1]． 故选：D． 由函数y=f（x+1）的定义域求出函数f（x）的定义域，再求函数g（x）的定义域． 本题考查了抽象函数的定义域求法与应用问题，是基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵0＜b=log53＜log54=a＜log55=1，c=log45＞log44=1． ∴b＜a＜c． 故选：B． 利用对数函数的单调性即可得出． 本题考查了对数函数的单调性，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由‎2a=5b=m，得a=log‎2m，b=log‎5m， 由+=1，得+=+=logm10=1， ∴m=10， 故选：B． 求出a，b，代入+=1，根据对数的运算性质求出m的值即可． 本题考查了函数求值问题，考查对数的运算性质，是一道基础题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数． 先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x-2|，y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数． 【解答】 解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）； 由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x-2|-lnx=0的根． 令y1=|x-2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故选：C． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题． 根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案． 【解答】 解：当0＜a＜1时，y=ax的图象经过第一二象限，且恒经过点（0，1）， ‎ ‎∵函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限， ∴y=ax的图象向下平移大于等于一个单位， 即1-b≥1， 即b≤0， 当a＞1时，函数，y=ax的图象经过第一二象限，无论如何平移都经过第一象限， 综上所述，函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象不经过第一象限，则有0＜a＜1且b≤0． 故选：C． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：当a＞0时  若x≥1时，f（x）=1+alog2x≥1， 若x＜1时，f（x）=x+4‎-2a最大值f（1）=1+4‎-2a必须大于或等于1， 才能满足f（x）的值域为R，可得1+4‎-2a≥1， 解得a∈（0，2]． 当a≤0时，若x≥1时，f（x）=1+alog2x≤1， 若x＜1时，f（x）=x+4‎-2a≤f（1）=1+4‎-2a，不符合题意， 故选：D． 通过a与0的大小讨论，利用分段函数的单调性转化求解即可． 本题考查分段函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数恒成立条件的应用，函数的单调性求解函数的最值的方法，是中档题． 推出m在一侧的不等式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解实数m的取值范围． 【解答】 解：原不等式变形为m2‎-2m＜8•2x， ∵函数y=2x在（-∞，-1]上是增函数， ∴0＜2x≤，当x∈（-∞，-1]时， ​m2‎-2m＜8•2x恒成立等价于m2‎-2m≤0⇒0≤m≤2， 故选：A． 13.【答案】[0，+∞） ‎ ‎【解析】解：由二次函数的性质可知，y=2x2+1≥1， ∴f（x）=lg（2x2+1）≥0， 即函数的值域[0，+∞）， 故答案为：[0，+∞） 由二次函数的性质可知，y=2x2+1≥1，然后结合对数函数的性质可求． 本题主要考查了二次函数及对数函数值域的求解，属于基础试题． 14.【答案】6 ‎ ‎【解析】解：原式=2log23×（2log32）+log5（102×0.25）=4+log525=4+2=6． 故答案为：6． 利用对数的运算性质即可得出． 本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15.【答案】（-∞，0）∪（0，1] ‎ ‎【解析】解：∵当a=0时，f（x）=0不符合题意； ∵当a＞0时，符合题意，又1-a≥0⇒a≤1，故a∈（0，1]； 当a＜0时，符合题意． 综上a∈（-∞，0）∪（0，1]， 故答案为：（-∞，0）∪（0，1]． 由题意利用函数的单调性、定义域和值域，求出实数a的取值范围． 本题主要考查函数的单调性、定义域和值域，属于基础题． 16.【答案】①③⑤ ‎ ‎【解析】解：对于①，f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，f（x）的图象关于原点对称，①正确； 对于②，当a＞1时，f（x）在R上为增函数，当0＜a＜1时，f（x）在R上为减函数，∴②错误； 对于③，y=f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，∴③正确； 对于④，当a＞1时，f（|x|）在（-∞，0）上为减函数，在[0，+∞）上为增函数， ∴当x=0时，y=f（|x|）的最小值为0，④错误； 对于⑤，当0＜a＜1时，y=f（|x|）在（-∞，0）上为增函数，在[0，+∞）上为减函数， ∴当x=0时，y=f（|x|）的最大值为0，⑤正确； 综上知，正确的命题序号是①③⑤． 故答案为：①③⑤． ①判断f（x）为奇函数，图象关于原点对称； ②讨论a＞1时f（x）为增函数，0＜a＜1时f（x）为减函数； ③判断f（|x|）是偶函数，图象关于y轴对称； ④讨论a＞1时f（|x|）在（-∞，0）上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，最小值是f（|0|）=0； ⑤讨论0＜a＜1时f（|x|）在（-∞，0）上为增函数，在[0，+∞）上为减函数，最大值是f（|0|）=0． 本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是中档题． 17.【答案】解：∵A∩B=B， ∴B⊆A， 当B=∅时，2p-1≥p+3，解得p≥4； 当B≠∅时，，解得， ∴， ∴实数p的取值范围为． ‎ ‎【解析】根据A∩B=B可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B=∅时，2p-1≥p+3；B≠∅时，，解出p的范围即可． 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，子集和空集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）∵f（1）=2，∴loga（1+1）+loga（3-1）=loga4=2，解得a=2（a＞0，a≠1）， 由，得x∈（-1，3）． ∴函数f（x）的定义域为（-1，3）． （2）f（x）=log2（1+x）+log2（3-x）=log2（1+x）（3-x）= ∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数； 当x∈[1，]时，f（x ‎）是减函数． 所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2． ‎ ‎【解析】（1）由f（1）=2即可求出a值，令可求出f（x）的定义域； （2）研究f（x）在区间[0，]上的单调性，由单调性可求出其最大值． 对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目，熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基础． 19.【答案】解：（1）设x＜0，则-x＞0， 所以f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x． 又f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x）， 于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，所以m=2． （2）要使f（x）在[-1，a-2]上单调递增， 结合f（x）的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]． ‎ ‎【解析】（1）根据题意，设x＜0，则-x＞0，分析可得f（-x）的解析式，又由函数为奇函数，分析可得f（x）=x2+2x=x2+mx，解可得m的值； （2）结合函数的图象，分析可得答案． 本题考查分段函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性，注意结合函数的图象分析函数的单调性． 20.【答案】解：（1）由条件易知， 令x1＞x2＞0，则， ∵x1＞x2＞0∴x1-x2＞0；，∴＞0 ∴f（x1）-f（x2）＞0；即f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）由x∈[1，4]，， ∴存在x∈[1，4]，成立，故， 而=（）2-； ∵x∈[1，4]∴， 当时，， 故a＜2． ‎ ‎【解析】（1）由条件易知，由定义可按照取值，作差变形，判定符号，下结论几个步骤证明即可，其中变形可用分子有理化的方法进行； （2）存在x∈[1，4]，使f（x）＞g（x）成立，即成立，故即可． 本题考查了函数的单调性定义和存在性问题，考查了分子有理化的变形方法，分离参数法把存在性问题转化为最值法，属于中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，得 S=， =…（5分） （Ⅱ）当1≤t≤30，t∈N时，S=-（t-20）2+6 400，当t=20时，S有最大值，为6 400；…（8分） 当31≤t≤50，t∈N时，S=-80t+8 000为减函数，当t=31时，S有最大值，为5520…（11分） ∵5520＜6 400， ∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值，为6400元…（12分） ‎ ‎【解析】（Ⅰ）通过天数，直接写出该种商品的日销售额S（元）与时间t（天）的函数关系； （Ⅱ ‎）利用分段函数结合一次函数以及二次函数的性质求解函数的最值即可． 本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力． 22.【答案】解：（1）由题知当x∈[1，4]，{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）} 当x∈[1，4]，f（x）∈[-1，3]； 当a=0时，g（x）=1时不符合题意； 当a＞0时，g（x）∈[1-a，1+‎2a]， 要使， 当a＜0时，g（x）∈[1+‎2a，1-a]， 要使， 综上a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）； （2）由题意知， 当1＜t＜2时，在[1，t]上，f（1）最大，f（t）最小， 故f（1）-f（t）=（1-4+3）-（t2-4t+3）=-t2+4t-3=5-2t； ∴t=2或4，不符合题意舍去； 当时，在[1，t]上，f（1）最大，f（2）最小， 故f（1）-f（2）=（1-4+3）-（4-8+3）=1=5-2t； ∴t=2，符合题意． 综上，存在实数t=2满足题意． ‎ ‎【解析】（1）问题转化为f（x）的值域为g（x）的值域的子集，分别求出f（x）和g（x）的值域，求出a的范围即可； （2）通过讨论讨论t的范围，求出f（x）在[t，4]的最大值和最小值，求出t的值即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题． ‎