山东省滕州一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 18页

‎2019~2020学年度第一学期期末模拟考试 高一数学 ‎2019．12‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合，，在根据集合的交集的运算，即可得到，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，集合， ，‎ 所以． ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，以及集合的表示与运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2.下列不等式正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质对选项逐一判断即可 ‎【详解】选项：当时，，因此不正确；‎ 选项：取，，则不成立；‎ 选项：由知，故，所以，正确；‎ 选项：时不成立．综上可得：只有正确．‎ ‎【点睛】本题考查不等关系和不等式的性质，考查分析推理的能力，属基础题．‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解法和充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】由题意知，不等式的解集为或，‎ 所以由“”可以推出“”；‎ 反过来，由“”不能推出“”；‎ 由充分与必要条件的定义知，‎ ‎“”是“”的充分而不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查充分与必要条件的判断和一元二次不等式的解法；考查逻辑思维能力和运算求解能力；熟练掌握充分与必要条件的定义是求解本题的关键；属于基础题.‎ ‎4.命题“”的否定为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，写出即可．‎ ‎【详解】解：命题的否定为．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题的应用问题，是基础题．‎ ‎5.若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用切化弦和同角三角函数的基本关系即可求解.‎ ‎【详解】因为，所以，即，‎ 由同角三角函数的基本关系可得，，所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行化简求值；考查运算求解能力；灵活运用同角三角函数的基本关系是求解本题的关键；属于基础题.‎ ‎6.设函数，若，( )‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. 2019 D. -2019‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数奇偶性，进而可求出函数值,‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此函数为奇函数，‎ 又，所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.‎ ‎7.已知函数的最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由最小正周期，求出，再由对，恒成立，得到，进而可得，求出其单调递减区间，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数的最小正周期为，所以，‎ 又对任意的，都使得，‎ 所以函数在上取得最小值，则，，‎ 即，‎ 所以，‎ 令，解得 ，‎ 则函数在上单调递减，故的最大值是.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.‎ ‎8.函数，则使成立的x的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，解不等式即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，函数的定义域为,关于原点对称，‎ 因为，‎ 所以函数为定义在上的偶函数，‎ 因为函数为上的增函数，为上的减函数，‎ 由简单复合函数的单调性可知，函数为上的增函数，‎ 所以等价于，‎ 由函数在上单调递增可得，，即，‎ 化简可得，，解得，‎ 所以所求x的取值范围为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用函数 单调性和奇偶性解不等式；考查运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握函数单调性和奇偶性的判断方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得5分，有选错的得0分．‎ ‎9.下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此判断正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.‎ 对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.‎ 对于C选项，为奇函数，不符合题意.‎ 对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.‎ 故选：AD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎10.在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式成立的条件,可分别判断四个选项是否满足最小值为2.‎ ‎【详解】对于A,且,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知,当且仅当,即时取等号,所以A正确;‎ 对于B, ,且.满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号,因为所以取不到等号,即B错误;‎ 对于C, ,,且.满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号,因为方程无解,所以取不到等号,即C错误;‎ 对于D, 且,满足都是正数且乘积为定值. 由基本不等式可知.当且仅当,即时取等号 ,所以D正确;‎ 综上可知最小值是2的函数有AD 故答案为: AD ‎【点睛】本题考查了根据基本不等式求函数的最值,注意”一正二定三相等”的成立条件,属于基础题.‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 函数在区间上单调递增 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数图象关于点对称 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像变换的知识求得解析式，由此判断的单调性和对称性，确定正确选项.‎ ‎【详解】函数的图像向右平移个单位长度得到.‎ 由于，故是的对称轴，B选项正确.‎ 由于，故是的对称中心，D选项正确.‎ 由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的对称性和单调性，属于基础题.‎ ‎12.下列命题正确的是（ ）‎ A. 若是第一象限角，且，则 B. 函数是偶函数 C. 是周期为的周期函数 D. 函数的图象关于点成中心对称的图形 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项A：举反例即可判断；‎ 对于选项B：利用诱导公式化简解析式即可判断；‎ 对于选项C：作出函数的图象，结合图象即可判断；‎ 对于选项D：利用余弦函数对称中心判断即可 ‎【详解】对于选项A：例如：，，故选项A错误；‎ 对于选项B：因为，‎ 所以函数是偶函数，故选项B正确；‎ 对于选项C：作出函数的图象如图所示，‎ 由图象可知，函数为偶函数，图象关于轴对称，不具有周期性，故选项C错误；‎ 对于选项D：当 时，，所以函数，故点是函数与轴的交点，所以函数的图象关于点 成中心对称的图形，故选项D正确；‎ 故选：BD ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的性质及其诱导公式；考查逻辑思维能力和运算求解能力；熟练掌握正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知不等式的解集为，则___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，得到和是一元二次方程的两根，结合根与系数的关系，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，不等式的解集为，‎ 可得和是一元二次方程的两根，‎ 所以，解得，所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，其中解答熟练应用一元二次不等式和一元二次方程的关系，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.（且）的图象恒过定点A，则A点坐标为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数函数的图象恒过定点，利用换元的思想即可求解.‎ ‎【详解】因为对数函数的图象恒过定点，‎ 所以令，解得，‎ 此时函数的函数值为，‎ 所以所求的A点坐标为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的图象与性质和换元思想的运用；考查等价转化思想；熟练掌握对数函数的图象与性质是求解本题的关键；属于基础题、常考题型.‎ ‎15.函数的最小值是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式sin2x+cos2x与函数f（x）的解析式相乘，展开后利用基本不等式可求出f（x）的最小值．‎ ‎【详解】注意到，且 ‎，‎ 当且仅当时“”成立，此时，满足题意，故的最小值为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，属于基础题．‎ ‎16.，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性求出的值，再利用对数的运算性质可得，与互为相反数，结合即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值；考查运算求解能力和转化与化归能力；灵活运用函数的奇偶性是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.求下列各式的值 ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数的运算性质化简求解即可；‎ ‎（2）利用三角函数的诱导公式，把负角化正角、大角化小角，然后进行求值即可.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题考查利用对数的运算性质和三角函数诱导公式进行化简求值；考查运算求解能力和公式的灵活运用能力；熟练掌握对数的运算性质和三角函数诱导公式是求解本题的关键；属于中档题.‎ ‎18.已知，且，求和的值.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.‎ ‎【详解】解：，又，‎ ‎.‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎19.已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为20，记 ‎．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）求：的值．‎ ‎【答案】（1） （2）求证见解析 （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数函数为上的单调函数可得，其最值在端点处取得，据此得到关于的方程，解方程即可求解；‎ ‎（2）由（1）可知函数的解析式，利用换元思想得到的表达式，化简整理即可得证；‎ ‎（3）由（2）知，，由，，‎ ‎，据此即可求解.‎ ‎【详解】（1）函数在上的最大值与最小值之和为20，‎ 而函数在上单调函数，‎ 所以当和时，函数在上取得最值，‎ ‎，得，或（舍），.‎ ‎（2）证明：由（1）知，，所以，．‎ ‎（3）由（2）知，，‎ 因为，‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象与性质、指数幂的运算和函数值的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握指数函数的图象与性质和指数幂的运算是求解本题的关键；属于中档题.‎ ‎20.已知非空集合，集合．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用一元二次不等式的解法和集合的交运算即可求解；‎ ‎（2）若是的必要条件，则集合，对集合对应的不等式，根据其解集的端点 和，分，，三种情况进行讨论，在每种情况下，借助数轴列出集合时实数需满足的不等式组，解不等式组即可求解.‎ ‎【详解】（1）当时，集合，‎ 集合，‎ 所以由集合交运算可得，．‎ ‎（2）若是的必要条件，则集合，‎ 因为集合．‎ ‎①当时，，集合，‎ 要使，则，解得，因为，故这种情况不成立；‎ ‎②当时，，集合，这与题目条件矛盾；‎ ‎③当时，，集合，‎ 要使，则，解得，‎ 因为，故，‎ 综上可知：实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算、把必要条件等价转化为集合间的包含关系求参数的范围；考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归能力；把必要条件等价转化为集合间的包含关系是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求的最值及取最值时相应的x的值；‎ ‎（3）求函数在的单调递增区间．‎ ‎【答案】（1） （2）当时，取最小值－2；当时，取最大值2． （3），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的最小正周期公式即可求解；‎ ‎（2）利用正弦函数的值域求得函数的最值，再利用整体代换的思想，令，解方程求得函数取得最值时对应的x的值；‎ ‎（3）利用正弦函数的单调递增区间，利用整体代换的思想求出函数的单调递增区间，再对进行赋值即可求解.‎ ‎【详解】（1）因为函数，所以函数最小正周期为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以当，即时，取最小值－2；‎ 当，即时，取最大值2.‎ ‎（3）令，解得，‎ 故的单调递增区间，‎ 令，单调递增区间为，令，单调递增区间为，‎ 故在上的单调递增区间为，．‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦函数的周期性、单调区间、最值等性质利用整体代换的思想求正弦型函数的周期、最值和单调区间；考查运算求解能力、整体代换思想；熟练掌握正弦函数的有关性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.‎ ‎22.水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.‎ ‎（参考数据： ）‎ ‎（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.‎ ‎【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为‎8m2‎, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）判断两个函数y=kax（k＞0，a＞1），在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=kax（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．‎ ‎（Ⅱ）利用 x=0时，，若经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍则有 ‎，求解即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢. ‎ ‎ 则有， 解得 ，‎ ‎（Ⅱ）当时， ‎ 该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有 ‎ ‎ ‎ ‎ 答：原先投放的水葫芦的面积为‎8m2‎, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.‎ ‎【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.‎