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- 2021-04-16 发布
坐标系
[必备知识]
考点1 极坐标与直角坐标
1．极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．
2．点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M，若设|OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角为θ，则点M可用有序数对(ρ，θ)表示．
3．极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，射线Ox的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为
考点2 常用简单曲线的极坐标方程
曲线形状(特征)
极坐标方程
过极点且与极轴成α角的直线
θ＝α(ρ∈R)
过(a,0)且垂直于极轴的直线
ρcosθ＝a
过且平行于极轴的直线
ρsinθ＝b
过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线
ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)
圆心在极点，半径为|r|的圆
ρ＝r
续表
曲线形状(特征)
极坐标方程
圆心在(r,0)，半径为|r|的圆
ρ＝2rcosθ
圆心在，半径为|r|的圆
ρ＝2rsinθ
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．点P在曲线C上，则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程．( )
2．tanθ＝1与θ＝表示同一条曲线．( )
3．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.( )
4．过极点，作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.( )
5．圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.×
二、小题快练
1．[课本改编]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C．(1,0) D．(1，π)
答案 B
解析 解法一：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
解法二：由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.
2．[2017·东营模拟]在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是( )
A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝
C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝
答案 A
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为点x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.
3.[2015·安徽高考]在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
答案 6
解析 圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝，则tanθ＝，化为直角坐标方程为x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.
4．[2016·北京高考]在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 将ρcosθ－ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.
考向 平面直角坐标系中的伸缩变换
例1 求椭圆＋y2＝1，经过伸缩变换后的曲线方程．
[解] 由得到①
将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
触类旁通
平面直角坐标系下图形的变换技巧
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
【变式训练1】 求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述，可知将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5，0)，F2(5，0)为所求．
考向 极坐标与直角坐标的互化
例2 [2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0
＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，或a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.
触类旁通
直角坐标方程与极坐标方程互化的方法
直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
【变式训练2】 已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．
解 (1)ρ2－2ρcos－2＝0，即ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0，将代入，得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l
与OC垂直，即 l· OC＝－1，因而 l＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.
(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设(φ为参数)，
则x＋y＝2sinφ＋2cosφ＝2sin，
当sin＝1时，x＋y取得最大值2.
考向 极坐标方程及其应用
例3 [2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
[解] (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.
触类旁通
极坐标方程及其应用的类型及解题策略
(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程．
(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
【变式训练3】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
(2)若射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.
解(1)由得
所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝7.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－1)2＋y2＝1，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ)2＝1，化简得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)依题意可设A，B.
因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsinθ－3＝0，
将θ＝(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程，得
ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3.
同理，将θ＝(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程，得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.
核心规律
如何解决极坐标问题
(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标系下求解后，再转化为极坐标．
(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式：
⇒
(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．
满分策略
极坐标应用中的注意事项
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合；③取相同的长度单位．
(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．
(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.