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2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）
1．下列导数公式错误的是（ ）
A．（sinx）'=﹣cosx B． C． D．（ex）'=ex
2．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=xex C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x
3．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（ ）
A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=0
5．函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（ ）
A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=0
6．的值为（ ）
A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e
7．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
A．f（x）=g（x） B．f（x）=g（x）=0
C．f（x）﹣g（x）为常数函数 D．f（x）+g（x）为常数函数
8．曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9．函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
11．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
12．已知函数f（x）=，给出下面三个结论：
①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；
②函数f（x）没有最大值，而有最小值；
③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）
13．已知函数f（x）=x2，则= ．
14．曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为 ﹒
15．已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为 ．
16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．
18．设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在f（x）区间[0，2]上的最大值与最小值．
19．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？
20．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值与最小值．
21．已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；
（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．
22．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．
2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共12小题，共60分，每题四个选项中只有一个选项是正确的，把选项填入答题卡的表格里）
1．下列导数公式错误的是（ ）
A．（sinx）'=﹣cosx B． C． D．（ex）'=ex
【考点】导数的运算．
【分析】根据题意，依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、（sinx）'=cosx，故A错误；
对于B、（lnx）′=，故B正确；
对于C、（）′=x﹣1=（﹣1）×x﹣2=﹣，故C正确；
对于D、（ex）'=ex，故D正确；
故选：A．
2．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=xex C．y=x3﹣x D．y=ln（1+x）﹣x
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】欲判断函数的单调性，可考虑应用导数这个工具，令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0求出递减区间．从而对选项一一进行判断即可．
【解答】解：∵f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）在（0，+∞）有增有减，∴A不正确；
∵f（x）=xex的导函数′（x）=ex（x+1）＞0恒成立，所以它在（0，+∞）上增，∴
B正确；
∵y=x3﹣x，的导数y′=2x2﹣1在（0，+∞）上不恒大于0．，所以它在（0，+∞）先减后增，∴C不正确；
∵y=ln（1+x）﹣x的导数y′=﹣1在（0，+∞）恒小于0，所以它为减函数，∴D不正确．
故选B．
3．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【考点】导数的运算．
【分析】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（5），将切点坐标代入切线方程求出f（5）．
【解答】解：f′（5）=﹣1
将x=5代入切线方程得f（5）=﹣5+8=3，
所以f（5）+f′（5）=3+（﹣1）=2，
故选：C
4．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x），如果f′（x）为偶函数，则一定有（ ）
A．a≠0，c=0 B．a=0，c≠0 C．b=0 D．b=0，c=0
【考点】导数的运算；函数奇偶性的判断．
【分析】先求导数f′（x），由f′（x）为偶函数可知f'（x）=f'（﹣x），故2bx=0恒成立，所以b=0，由此得出答案．
【解答】解：函数f（x）=ax3+bx2+cx+2的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f′（x）=3ax2+2bx+c是定义在R上的偶函数，
∴f'（x）=f'（﹣x），即3ax2+2bx+c=3ax2﹣2bx+c，
∴2bx=0恒成立，b=0．
故选C．
5．函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是（ ）
A．x﹣4y=0 B．x﹣4y﹣2=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x+4y﹣4=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．
【解答】解：求导函数，可得
∴，f（2）=
∴函数的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣=（x﹣2），即x+4y﹣4=0
故选D．
6．的值为（ ）
A．e+1 B．e﹣1 C．1﹣e D．e
【考点】微积分基本定理．
【分析】直接利用积分基本定理即可求解
【解答】解：由积分基本定理可得， =
故选B
7．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
A．f（x）=g（x） B．f（x）=g（x）=0
C．f（x）﹣g（x）为常数函数 D．f（x）+g（x）为常数函数
【考点】导数的几何意义．
【分析】先根据导数的运算法则将f′（x）=g′（x）转化为[f（x）﹣g（x）]′=0，然后由函数的求导法则可得答案．
【解答】解：由f′（x）=g′（x），得f′（x）﹣g′（x）=0，
即[f（x）﹣g（x）]′=0，所以f（x）﹣g（x）=C（C为常数）．
故选C．
8．曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数的几何意义．
【分析】欲求在点（1，﹣3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．
【解答】解：．
故选A．
9．函数y=f（x）定义在区间（﹣3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f（x）在区间（﹣3，7）上极小值的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】函数在极小值点处，导数为0，且导函数左负右正，根据图象可得结论．
【解答】解：函数在极小值点处，导数为0，且导函数左负右正，
根据图象可知，O，C为极小值点，
故选：A．
10．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）=f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）=2，
∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，
则∵函数g（x）单调递增，
∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
11．如图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出不恰当的图象．利用排除法确定出答案．
【解答】解：根据f′（x）＞0时，y=f（x）递增；f′（x）＜0时，y=f（x）递减可得．
①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；
而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误，
④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减，故错误．
故选C．
12．已知函数f（x）=，给出下面三个结论：
①函数f（x）在区间（﹣，0）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；
②函数f（x）没有最大值，而有最小值；
③函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，也不存在极值点．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由函数f（x）=表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，结合正弦型函数的图象和性质，逐一分析三个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=表示（0，0）与（x，sinx）点连线的斜率，
∴当x∈（﹣，0）时，函数f（x）单调递增，
当x∈（0，）时，函数f（x）单调递减，故①正确；
当x→0时，f（x）→1，而x≠0，故f（x）＜1，即函数没有最大值，
当（0，0）与（x，sinx）点连线与y=sin的图象相切时，f（x）有最小值，
故函数f（x）没有最大值，而有最小值，
故②正确；
当x∈（0，π）时，sinx≠0，故f（x）≠0，即函数f（x）在区间（0，π）上不存在零点，
而x∈（0，π）时，函数f（x）单调递减，也不存在极值，
故③正确；
故正确的结论的序号是①②③，
故选：D
二、填空题（每题5分，共4小题，共20分，将答案填在答题卡的横线上）
13．已知函数f（x）=x2，则= 0 ．
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】先求出f′（x），由=f′（0），能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=x2，
∴f′（x）=2x，
∴=f′（0）=0，
故答案为：0．
14．曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为 3 ﹒
【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤π上的积分可求出答案．
【解答】解：S==3
=3（sin﹣sin0）=3
故答案为3
15．已知函数f（x）=2x3﹣3x，则在f（x）的切线中，斜率最小的一条切线方程为 y=﹣3x ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先对f（x）=2x3﹣3x求导得y′=6x2﹣3，根据二次函数的单调性求出当x=0时其最小值为﹣3，据此求出切点，进而写出斜率最小时的切线方程．
【解答】解：∵f（x）=2x3﹣3x，∴f′（x）=6x2﹣3≥﹣3，
∴当x=0时，切线的斜率最小值且为﹣3，
当x=0时，f（0）=0，∴切点为（0，0），
∴切线的方程为y﹣0=﹣3（x﹣0），即y=﹣3x．
故答案为y=﹣3x．
16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是 （﹣，1） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．
【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，
∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，
∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．
k=的几何意义为点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，
当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；
当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为： =．
k的取值范围是（﹣，1）．
故答案为：（﹣，1）．
三、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导数，确定切线的向量，利用曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，建立方程，即可求x0的值．
【解答】解：由题意，
∵曲线y=x2﹣1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，
∴k1k2=﹣1，
∴．
18．设函数f（x）=﹣x3+2x2﹣x（x∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在f（x）区间[0，2]上的最大值与最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数在x=2处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
（II）求导函数，确定函数的单调性，可得函数的极值与端点函数值比较，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为 f（x）=﹣x3+2x2﹣x，
所以 f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，且f（2）=﹣2．…
所以 f'（2）=﹣5． …
所以 曲线f（x）在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），
整理得5x+y﹣8=0． …
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=﹣3x2+4x﹣1=﹣（3x﹣1）（x﹣1）．
令f'（x）=0，解得x=或x=1． …
当x∈[0，2]时，f'（x），f（x）变化情况如下表：
x
0
（0，）
（，1）
1
（1，2）
2
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
0
↘
﹣
↗
0
↘
﹣2
因此，函数f（x），x∈[0，2]的最大值为0，最小值为﹣2．…
19．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大．
【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；
盒子容积为：y=（8﹣2x）•（5﹣2x）•x=4x3﹣26x2+40x，
对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y′=0，得12x2﹣52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），
所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；
所以，当x=1时，函数y取得最大值18；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．
20．已知函数f（x）=ax3+bx2+4x的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值与最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8，由此列出方程组求出a和b，由此能求出f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f′（x）=﹣3x2﹣4x+4=0，得，x2=﹣2，由此能求出函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值，最小值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知函数在x=﹣2处取极小值8，
∵f（x）=ax3+bx2+4x，
∴f′（x）=3ax2+2bx+4
∴，
解得：a=﹣1，b=﹣2
∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=﹣3x2﹣4x+4，
由f′（x）=0，得，x2=﹣2，
∵f（﹣3）=﹣（﹣3）3﹣2（﹣3）2+4（﹣3）=﹣3，
f（﹣2）=﹣（﹣2）3﹣2（﹣2）2+4（﹣2）=﹣8，
f（）=﹣（）3﹣2（）2+4×=﹣，
f（2）=﹣23﹣2•22+4•2=8．
∴函数y=f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值为8，最小值为﹣8．
21．已知f（x）=x﹣lnx，g（x）=，其中x∈（0，e]（e是自然常数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调性和极小值；
（Ⅱ）求证：g（x）在（0，e]上单调递增；
（Ⅲ）求证：f（x）＞g（x）+．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调性，从而可求f（x）的极小值；
（Ⅱ）求导数，利用0＜x＜e时，g'（x）＞0，可得结论；
（Ⅲ）证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=（x＞0），
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增
∴f（x）的极小值为f（1）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）证明：求导数可得
∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，e]上单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅲ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）min=1
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴f（x）＞g（x）+．
22．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；
（2）先确定函数的定义域然后求导数Fˊ（x），讨论a在函数的定义域内解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；
（3）要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）即可．
【解答】（1）解：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．
∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
∴当时，．
（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；
令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）证：．
要证，即证
，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．