2017-2018学年内蒙古包头市第四中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版 17页

绝密★启用前 内蒙古包头市第四中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知空间向量，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的数量积等于0，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由空间向量，‎ 又由，即，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据，利用向量的数量积等于0，列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎2．已知为空间两两垂直的单位向量，且，则( )‎ A．－15 B．－‎5 ‎C．－3 D．－1‎ ‎【答案】A. ‎ ‎【解析】,应选A.‎ ‎3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋ ＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，观察上述结果，可推测出一般结论(　　)‎ A．f(2n)> 　 B．f(2n)≥ C． f(n2)≥ D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵f(4) ，f(8) ，f(16) ，f(32) ，∴可推测出一般结论为f(2n)≥，故选B 考点：本题考查了归纳推理的运用 点评：对于此类问题，常常观察式子找项数n的关系或特殊项，猜想一般 ‎4．如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，（），则在第个图形中共有（ ）个顶点.‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知图形中，可以列出顶点个数与多边形边数，然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论.‎ ‎【详解】‎ 由已知中的图形可以得到：‎ 当时，顶点共有个；‎ 当时，顶点共有个；‎ 当时，顶点共有个；‎ 当时，顶点共有个；‎ ‎ ‎ 由此可以推断，‎ 第个图形共有顶点个，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).‎ ‎5．设函数的导函数，则数列的前n项和是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据导数，求解的值，得到数列，即可求解数列的和.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 又由，所以，即，所以，‎ 所以，‎ 所以的前n项和为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算及数列的裂项求和问题，其中解答中根据函数的导数，求解数列的通项公式，再由裂项法求解数列的和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎6．如图所示是函数的大致图像，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得，根据函数的图象的根为，所以，所以 ‎，所以的两个根为和，所以，所以，所以，因为是方程的两根，所以，所以，故选C.‎ 考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用，充分体现导数在函数问题解答中的应用，本题的解答中根据函数的图象的根为，求出函数的解析式，再利用是方程的两根，结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用.‎ ‎7．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：切线斜率，故切线方程为，即，其和坐标轴围成的三角形面积，选A.‎ 考点：导数的几何意义、直线方程.‎ ‎8．函数的单调递减区间是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可得和定义域，由，即可求解函数的递减区间.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 令，即，解得，即函数的递减区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9．函数的最大值为（ ）‎ A． B． 1 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求得导数，得到函数单调性，即可求解函数的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，当时，，则函数单调递增；‎ 当时，，则函数单调递减，‎ 所以函数的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中求得函数的导数，得出函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．一个物体的运动方程为，其中的单位是米， 的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）‎ A． 米/秒 B． 米/秒 C． 米/秒 D． 米/秒 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ， 时， ．故选C．‎ 考点：导数的物理意义．‎ ‎11．等于( )‎ A． B． 2 C． -2 D． +2‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵.故选D 视频 ‎12．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B ′C ′D ′，A′C 的中点E与AB的中点F的距离为 (　　)．‎ A． a B． a C． a D． a ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，因为点分别是的中点，得出点的坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 因为点分别是的中点，所以，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标和空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中根据空间直角坐标系得到相应点的坐标是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：O是平面OAB上一个点，设点P到平面OAB的距离为d,则d=∵ =(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴ d==2即 点P到平面OAB的距离为2．‎ 考点：空间向量在立体几何中的运用．‎ ‎14．已知类比这些等式，若（a，b均为正实数），则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析3个式子，可得成立，即可求解相应的的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对于第一个式子；‎ 第二个式子；‎ 第二个式子；‎ ‎ ‎ 分析可得：第个式子可得，‎ 当时，，即，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).‎ ‎15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将侧面面积类比直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得.‎ ‎16．函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______.‎ ‎【答案】5，-15‎ ‎【解析】‎ ‎，则 当时，，此时函数单调递增；‎ 当时，，此时函数单调递减；‎ 当时，，此时函数单调递增。‎ 则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增 所以函数在处取到极小值-15‎ 当时，，当时，‎ 所以函数在处取到极大值5‎ 所以函数在区间上的最大值是5，最小值是-15‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知空间向量 ‎（1）求及的值；‎ ‎（2）设函数的最小正周期及取得最大值时x的值。‎ ‎【答案】（1）,（2） 取得最大值时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，得，利用三角函数的基本关系式和正弦倍角公式，求得，联立方程组，即可求解.‎ ‎（2）由题意，利用三角函数的恒等变换的公式，化简得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵‎ ‎∴①‎ ‎∴‎ ‎∴②‎ 联立①，②解得： ‎ ‎（2）‎ ‎∴ ‎ 当 此时 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式合理化简，以及三角函数的图象与性质的准确应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎18．如图，正三棱柱的所有棱长都为2， 为中点，试用空间向量知识解下列问题：‎ ‎（1）求证面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取BC中点O，连AO，在正三棱柱中，证得平面，进而取中点为,以O为原点建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量法，即可证得面. ‎ ‎（2）设平面的法向量为,求得，又由（1）知面，得为平面的法向量，再利用向量的夹角公式，即可求解 ‎【详解】‎ 取BC中点O，连AO，∵为正三角形，‎ ‎∴，∵在正三棱柱中，‎ 平面ABC平面,∴平面，‎ 取中点为,以O为原点，,,的方向为 ，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,‎ ‎∵,.‎ ‎∴，,∴面. ‎ ‎（2）设平面的法向量为,.‎ ‎，∴，∴， ，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，‎ ‎∴为平面的法向量，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的余弦值为 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎19．已知函数的图像与函数的图象相切，记.‎ ‎ （1）求实数b的值及函数F（x）的极值 ‎ （2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围。‎ ‎【答案】⑴极大值，极小值0，⑵（0，）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，求得函数的导数，利用导数得到函数的单调性，即可求解函数的极值.‎ ‎（2）由（1）得出函数大致图象，再作函数的图象，结合图象，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，令 ，得，故，‎ 列表如下：‎ ‎－1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值0‎ ‎↗‎ 从上表可知在处取得极大值，在 处取得极小值0． ‎ ‎（2）由（1）可知函数大致图象如下图所示作函数的图象，‎ 当 的图象与函数 的图象有三个交点时，‎ 关于x的方程恰由三个不等的实数根，结合图形可知： .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，以及利用导数研究方程的根的问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎20．已知函数在与时都取得极值 ‎(1)求的值与函数的单调区间 ‎ (2)若对，不等式恒成立，求c的取值范围 ‎【答案】（1）递增区间是与,递减区间是；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由题已知与时都取得极值可得从而获得两个方程，可求出的值，再由导数可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）且，求恒成立问题，可运用导数求出函数的最值，即：，‎ 可解出的取值范围。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得 ‎，函数的单调区间如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ‎ ¯ ‎ 极小值 ‎ ‎ 所以函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2），当时，‎ 为极大值，而，则为最大值，‎ 要使恒成立，则只需要，‎ 得 考点：（1）导数与极值及方程思想。（2）恒成立中的最值思想。‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）取得绝对值，得到三个不等式组，即可求解不等式的解集；(2)由绝对值的三角不等式，即可求解，由题意得，即可求解的取值范围．‎ 试题解析：（1）等价于或或 解得或．‎ 故不等式的解集为或．‎ ‎（2）因为（当时等号成立），‎ 所以，‎ 由题意得，解得或．‎ 考点：绝对值不等式的求解及应用．‎ ‎22．设、、均为正数，且，证明：‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）由， ， 得：‎ ‎，由题设得，即 ‎，所以 ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）因为， ， ，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ 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