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- 2021-04-16 发布
课时分层训练(三十五) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(对应学生用书第238页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
C [(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔或
画图可知选C．]
2．(2018·北京东城区综合练习(二))在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为( ) 【导学号：97190197】
A．1 B．2
C．4 D．8
A [不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1，故选A．]
3．(2017·浙江高考)若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
D [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．
故选D.]
4．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
B [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.]
5．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型客车不多于A型客车7辆．则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
C [
设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则约束条件为目标函数为z＝1 600x＋2 400y.
可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点．
当目标函数z＝1 600x＋2 400y对应的直线经过点A(5,12)时，z取得最小值，zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.故租金最少为36 800元，选C．]
二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
－5 [作出可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x－2y，得y＝x－.
作出直线l0：y＝x，并平移l0，知当直线y＝x－过点A时，z取得最小值．
由得A(－1,1)，
∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.]
7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________. 【导学号：97190198】
5 [
画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由
解得
又A(2,3)在直线x＋y＝m上，
∴m＝5.]
8．(2017·河南、湖北、山西三省联考)已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
[不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率．因点D(2,3)与B(8,1)连线的斜率为－且C的坐标为(2，－2)，
故由图知z＝的取值范围为
]
三、解答题
9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图621所示．
图621
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
[解] (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，
即(14－a)(－18－a)＜0，
解得－18＜a＜14.
故a的取值范围是(－18,14)．
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围.
【导学号：97190199】
[解] (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，
过A(3,4)取最小值－2，
过C(1,0)取最大值1，
所以z的最大值为1，
最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4