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- 2021-04-16 发布
1．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)。以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ。
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标。
2．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)。
(1)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
(2)已知A(－2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值。
解析：(1)圆C的参数方程为(θ为参数)。
所以普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4。
∴圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0。
(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝，
△ABM的面积
S＝×|AB|×d＝|2cosθ－2sinθ＋9|＝。
所以△ABM面积的最大值为9＋2。
3．已知直线l：
(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C：
(φ为参数)的左焦点F。
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|×|FB|的最小值。
解析：(1)∵椭圆C：的普通方程为＋＝1，
当sinα＝±1时，|FA|×|FB|取最小值。
4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
(t为参数)。
(1)写出直线l与曲线C在直角坐标系下的方程；
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M(x0，y0)，求x0＋y0的取值范围。
解析：(1)直线l的普通方程为x＋y－2－1＝0，
曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4。
(2)曲线C经过伸缩变换得到曲线C′的方程为x2＋＝4，
则点M的参数方程为(θ为参数)，
代入x0＋y0得，
x0＋y0＝×2cosθ＋×4sinθ＝2sinθ＋2cosθ＝4sin，
∴x0＋y0的取值范围是[－4,4]。
5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点。
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值。
故最大面积Smax＝××＝。
6．以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为(t为参数)。
(1)若曲线C在点(1,1)处的切线为l，求l的极坐标方程；
(2)若点A的极坐标为，且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围。
解析：(1)∵，∴x2＋y2＝2，又点(1,1)在圆上，∴切线方程为x＋y＝2，
∴ρsinθ＋ρcosθ＝2，l的极坐标方程为ρsin＝。
(2)点A的直角坐标为(2,2)，设m：y＝k(x－2)＋2，m与半圆x2＋y2＝2(y≥0)相切时＝，
∴k2－4k＋1＝0，∴k＝2－或2＋(舍去)。
设点B(－，0)，则kAB＝＝2－，
故直线m的斜率的取值范围为(2－，2－]。
7．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2。
(1)分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程；
(2)已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|＋|PN|的最大值。
解析：(1)曲线C1的普通方程为＋＝1，
因为|PM|＋|PN|＝＋＝＋，
(|PM|＋|PN|)2＝14＋2。
所以当y＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28，
因此|PM|＋|PN|的最大值为2。
8．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为
(θ为参数)，定点A(0，－)，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点。
(1)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；
(2)设(1)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|·|F1N|。
解析：(1)圆锥曲线C的参数方程为
代入椭圆方程得5t2－4t－12＝0。
∴t1t2＝－，
∴|F1M|·|F1N|＝。
9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为 (α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 (t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程代入抛物线方程
y2＝4x，得＝4.
解得t1＝0，t2＝－8 .
所以AB＝|t1－t2|＝8 .
11．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)由消去t得x＋y－4＝0，
所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0，
由ρ＝2cos＝2＝2cos θ＋2sin θ，
得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入上式，
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)设曲线C上的点为P(1＋cos α，1＋sin α)，
则点P到直线l的距离为
d＝＝＝.
当sin＝－1时，dmax＝2.
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.