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- 2021-04-16 发布
第 5 讲 指数与指数函数
1．根式
(1)根式的概念
①若 xn＝a，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*.式子n a叫做根式，这里 n 叫做
根指数，a 叫做被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a
⇒
x＝n a，当 n 为奇数且 n∈N*，n>1 时，
x＝±n a，当 n 为偶数且 n∈N*时.
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*，且 n>1)．
②n an＝
a，n 为奇数，
|a|＝ a，a≥0，
－a，a<0，n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a
m
n＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
②负分数指数幂：a－m
n
＝ 1
a
m
n
＝
1
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
③0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象及性质
函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)
图象
01
图象特征 在 x 轴上方，过定点(0，1)
当 x 逐渐增大时，图象逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 减 增
函数值
变化
规律
当 x＝0 时，y＝1
当 x<0 时，y>1；
当 x>0 时，00 时，y>1
4.指数函数的变化特征
在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数 y＝ax，y＝bx，y＝cx，
y＝dx(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．
作出直线 x＝1，分别与四个图象自上而下交于点 A(1，a)，B(1，b)，
C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据 y
轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.( )
(2)(－1)
2
4＝(－1)
1
2＝ －1.( )
(3)函数 y＝a－x 是 R 上的增函数．( )
(4)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
(6)若 am0，且 a≠1)，则 m0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则 A
的坐标为________．
解析：令 x－2＝0，则 x＝2，f(2)＝3，即 A 的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
[易错纠偏]
(1)忽略 n 的范围导致式子n an(a∈R)化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
1．计算3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝________．
解析：3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋( 2－1)＝2 2.
答案：2 2
2．若函数 f(x)＝(a2－3)·ax 为指数函数，则 a＝________．
解析：由题意知
01 时，a＝2；当 00 且 2
1
x－1≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
指数幂的运算
化简下列各式：
(1) 23
5
0
＋2－2· 21
4
－1
2－(0.01)0.5；
(2)5
6a
1
3·b－2· －3a－1
2b－1
÷(4a
2
3·b－3)1
2(a，b>0)．
【解】 (1)原式＝1＋1
4
×
4
9
1
2－
1
100
1
2＝1＋1
4
×2
3
－ 1
10
＝1＋1
6
－ 1
10
＝16
15.
(2)原式＝－5
2a－1
6b－3÷(4a
2
3·b－3)1
2
＝－5
4a－1
6b－3÷ a
1
3b－3
2 ＝－5
4a－1
2
·b－3
2
＝－5
4
· 1
ab3
＝－5 ab
4ab2 .
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来
解答．
[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形
式力求统一．
化简下列各式：
(1)(0.027)
2
3＋
27
125
－1
3－ 27
9
0.5
；
(2)
1
4
－1
2·
（ 4ab－1）3
（0.1）－1·（a3·b－3）
1
2
.
解：(1)原式＝0.32＋
125
27
1
3－ 25
9
＝ 9
100
＋5
3
－5
3
＝ 9
100.
(2)原式＝2（4ab－1）
3
2
10a
3
2b－3
2
＝
16a
3
2b－3
2
10a
3
2b－3
2
＝8
5.
指数函数的图象及应用
(1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( )
(2)函数 f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则 a＋b 的取值范围是________．
(3)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________．
【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2×
1
2
x
，单调递减且过点(0，2)，选项 A 中的图象符合
要求．
(2)因为根据图象得 a>1，f(1
2)＝0，b<0.
所以 a＋b＝0，所以 a＋b＝a－ a>1－ 1＝0.
(3)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单
位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数
图象如图所示．
当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一的
交点，所以方程有一解．
【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞)
应用指数函数图象的 4 个技巧
(1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1
a .
(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不
满足则排除．
(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平
移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求
解．
1．函数 y＝xax
|x| (a>1)的图象大致是( )
解析：选 B.y＝ ax，x>0，
－ax，x<0，
因为 a>1，依据指数函数的图象特征可知选 B.
2．若函数 y＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，则 m 的取值范围为________．
解析：y＝
1
2
x－1
＋m，
函数 y＝
1
2
x－1
的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则
m≤－2.
答案：(－∞，－2]
指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题
的形式出现．主要命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)解简单的指数方程或不等式；
(3)复合函数的单调性；
(4)函数的值域(最值)．
角度一 比较指数式的大小
设 a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a0.60.6>0.61.5，
即 b0，所以 1.50.6>1.50＝1，即 c>1.
综上，b－3，此时－30，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是 14，则 a 的值
为( )
A.1
3 B．1
C．3 D.1
3
或 3
【解析】 令 ax＝t，则 y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当 a>1 时，因为 x∈[－1，1]，所以 t∈
1
a
，a ，
又函数 y＝(t＋1)2－2 在
1
a
，a 上单调递增，
所以 ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得 a＝3(负值舍去)．
当 01.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
解析：选 B.A 中，因为函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，2.5<3，所以 1.72.5<1.73.B 中，因
为 y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2，所以 0.6－1>0.62.C 中，因为 0.8－1＝1.25，所以问题转化
为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小．因为 y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2，所以 1.250.1<1.250.2，
即 0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为 1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以 1.70.3>0.93.1.
4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数 f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足 f(1)＝1
9
，则 f(x)的
单调递减区间是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选 B.由 f(1)＝1
9
得 a2＝1
9.
又 a>0，所以 a＝1
3
，因此 f(x)＝
1
3
|2x－4|
.
因为 g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
5．已知函数 y＝f(x)与 y＝F(x)的图象关于 y 轴对称，当函数 y＝f(x)和 y＝F(x)在区间[a，
b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数 y＝f(x)的“不动区间”，若区间[1，2]为
函数 y＝|2x－t|的“不动区间”，则实数 t 的取值范围是( )
A．(0，2] B.
1
2
，＋∞
C.
1
2
，2 D.
1
2
，2 ∪[4，＋∞)
解析：选 C.因为函数 y＝f(x)与 y＝F(x)的图象关于 y 轴对称，
所以 F(x)＝f(－x)＝|2－x－t|，
因为区间[1，2]为函数 f(x)＝|2x－t|的“不动区间”，
所以函数 f(x)＝|2x－t|和函数 F(x)＝|2－x－t|在[1，2]上单调性相同，
因为 y＝2x－t 和函数 y＝2－x－t 的单调性相反，
所以(2x－t)(2－x－t)≤0 在[1，2]上恒成立，
即 1－t(2x＋2－x)＋t2≤0 在[1，2]上恒成立，
即 2－x≤t≤2x 在[1，2]上恒成立，
即1
2
≤t≤2，故答案为 C.
6．指数函数 y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则 f(0)＋f(－m)＝________．
解析：设 f(x)＝ax(a＞0 且 a≠1)，所以 f(0)＝a0＝1.
且 f(m)＝am＝3.
所以 f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋ 1
am
＝4
3.
答案：4
3
7．(2020·杭州中学高三月考)已知 ex＋x3＋x＋1＝0， 1
e3y
－27y3－3y＋1＝0，则 ex＋3y 的值
为________．
解析：因为 ex＋x3＋x＋1＝0，1
e3y
－27y3－3y＋1＝0 等价于 e－3y＋(－3y)3＋(－3y)＋1＝0，
所以 x＝－3y，即 x＋3y＝0，所以 ex＋3y＝e0＝1.
答案：1
8．若函数 f(x)＝ ax，x>1，
（2－3a）x＋1，x≤1
是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：依题意，a 应满足
00，a≠1，b∈R)．
(1)若 f(x)为偶函数，求 b 的值；
(2)若 f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求 a，b 应满足的条件．
解：(1)因为 f(x)为偶函数，
所以对任意的 x∈R，都有 f(－x)＝f(x)，
即 a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得 b＝0.
(2)记 h(x)＝|x＋b|＝ x＋b，x≥－b，
－x－b，x<－b.
①当 a>1 时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即 h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2.
②当 01 且 b≥－2.
[综合题组练]
1．已知函数 f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析：选 D.作出函数 f(x)＝|2x－1|的图象，如图，因为 af(c)>f(b)，结合图象知，00，所以 0<2a<1.所以 f(a)
＝|2a－1|＝1－2a<1，所以 f(c)<1，所以 0f(c)，所以 1－2a>2c－1，所以 2a＋2c<2，故选
D.
2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数 f(x)＝
（1
2
）x，x＞0
－x2－4x，x≤0
，则此函数图象上关于原点
对称的点有( )
A．0 对 B．1 对
C．2 对 D．3 对
解析：选 B.作出函数 y＝f(x)图象如图所示：
再作出－y＝f(－x)，即 y＝x2－4x，恰好与函数图象位于 y 轴左侧部分(对数函数的图象)
关于原点对称，记为曲线 C，发现 y＝
1
2
x
与曲线 C 有且仅有一个交点，
因此满足条件的对称点只有一对，图中的 A、B 就是符合题意的点．故选 B.
3．(2020·杭州模拟)已知函数 y＝ax＋b(a>0，且 a≠1，b>0)的图象经
过点 P(1，3)，如图所示，则 4
a－1
＋1
b
的最小值为________，此时 a，b 的值分别为________．
解析：由函数 y＝ax＋b(a>0 且 a≠1，b>0)的图象经过点 P(1，3)，得 a＋b＝3，所以a－1
2
＋ b
2
＝ 1 ， 又 a>1 ， 则 4
a－1
＋ 1
b
＝
4
a－1
＋1
b
a－1
2
＋b
2 ＝ 2 ＋ 1
2
＋ 2b
a－1
＋ a－1
2b
≥ 5
2
＋ 2
2b
a－1
·a－1
2b
＝9
2
，当且仅当 2b
a－1
＝a－1
2b
，即 a＝7
3
，b＝2
3
时取等号，所以 4
a－1
＋1
b
的最小值
为9
2.
答案：9
2
7
3
，2
3
4．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数 f(x)＝e|x|，将函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位后，
再向上平移 2 个单位，得到函数 g(x)的图象，函数 h(x)＝ e（x－1）＋2，x≤5，
4e6－x＋2，x>5，
若对于任意
的 x∈[3，λ](λ>3)，都有 h(x)≥g(x)，则实数λ的最大值为________．
解析：依题意，g(x)＝f(x－3)＋2＝e|x－3|＋2，在同一坐标系中分别作
出 g(x)，h(x)的图象如图所示，观察可得，要使得 h(x)≥g(x)，则有 4e6－x
＋2≥e(x－3)＋2，故 4≥e2x－9，解得 2x－9≤ln 4，故 x≤ln 2＋9
2
，实数λ的最
大值为 ln 2＋9
2.
答案：ln 2＋9
2
5．已知函数 f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当 a＝1 时，求函数 f(x)在 x∈[－3，0]上的值域；
(2)若关于 x 的方程 f(x)＝0 有解，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令 t＝2x，x∈[－3，0]，则 t∈
1
8
，1 .
故 y＝2t2－t－1＝2 t－1
4
2
－9
8
，t∈
1
8
，1 ，
故值域为 －9
8
，0 .
(2)关于 x 的方程 2a(2x)2－2x－1＝0 有解，
设 2x＝m>0，
等价于方程 2am2－m－1＝0 在(0，＋∞)上有解，
记 g(m)＝2am2－m－1，
当 a＝0 时，解为 m＝－1<0，不成立．
当 a<0 时，开口向下，对称轴 m＝ 1
4a<0，
过点(0，－1)，不成立．
当 a>0 时，开口向上，对称轴 m＝ 1
4a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得 a>0.
6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数 f(x)＝
1
3
x
，x∈[－1，1]，函数 g(x)＝[f(x)]2－2af(x)
＋3 的最小值为 h(a)．
(1)求 h(a)；
(2)是否存在实数 m，n 同时满足下列条件：
①m>n>3；
②当 h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，
说明理由．
解：(1)因为 x∈[－1，1]，
所以 f(x)＝
1
3
x
∈
1
3
，3 ，
设 t＝
1
3
x
∈
1
3
，3 .
则 y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当 a<1
3
时，ymin＝h(a)＝φ
1
3 ＝28
9
－2a
3
；
当1
3
≤a≤3 时，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；
当 a>3 时，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.
所以 h(a)＝
28
9
－2a
3
，a<1
3
，
3－a2，1
3
≤a≤3，
12－6a，a>3.
(2)假设存在 m，n 满足题意．
因为 m>n>3，h(a)＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数，
又因为 h(a)的定义域为[n，m]，
值域为[n2，m2]，
所以 12－6m＝n2，
12－6n＝m2，
两式相减得 6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，即 m＋n＝6，与 m>n>3 矛盾，
所以满足题意的 m，n 不存在．