2012漳州3月份质检理数试卷 8页

‎2012.3漳州市高中毕业班质量检查试卷 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分．考试时间120分钟. ‎ 注意事项：‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.‎ ‎2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，… ，xn的标准差 锥体体积公式 s= V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ‎ V=Sh ， ‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．）‎ ‎1. 复数满足，则复数的共轭复数等于 A. B. C. D. ‎2‎ ‎2‎ 第3题图 ‎2. 设集合，，则使M∩N＝N成立的的值是 ‎ A．1　　　 B．‎0 C．1或－1 D．－1‎ ‎3.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是如右图所示正方形及其对角线，‎ 则该几何体的体积等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4‎ ‎4.右图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中第二组月收入在千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为 A．1000 B．2000 ‎ C．3000 D．4000 ‎ ‎5‎ ‎5. 对于任意点P(a，b)，要求P关于直线y=x的对称点Q，‎ 则算法框图中的①处应填入 ‎ A．b=a B．a=m ‎ C．m=b D．b=m ‎6.下列论断中错误的是 A．a、b、m是实数，则“am2>bm‎2”‎是“a>b”的充分非必要条件；‎ B．命题“若a>b>0，则a2>b2”的逆命题是假命题；‎ C．向量a，b的夹角为锐角的充要条件是ažb>0；‎ D．命题p：“∃x∈R，x2-3 x+2≥‎0”‎的否定为¬p：“∀x∈R，x2-3x+2<0”‎ ‎7.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.下列命题中正确的是 ‎ A. B.‎ ‎ C. ∥ D. ∥,∥‎ ‎8.已知函数f(x)= cos2x+cos(2x-)，给出下列结论：‎ ‎ ①f(x)是最小正周期为π的偶函数；②f(x)的图像关于对称；③f(x)的最大值为2；‎ ‎④将函数的图像向左平移就得到y= f(x)的图像.‎ 其中正确的是 ‎ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎9.设双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于 ‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎10. 已知定义在R上的函数f(x)满足：①当x>0时，f(x)>1，②"x、yÎR，f(x+y)= f(x) f(y).‎ 数列{an}满足①a 1=1，②f(an+1)= f(an) f(1)，(nÎN*)，…，则T100等于 A.4900 B.-4900 C.5050 D.-5050‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）‎ ‎11. 若点(x，y)满足则点(x，y)构成的图形的面积等于__________.‎ ‎12. 在二项式的展开式中，常数项等于_______. ‎ ‎13. 从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有_______种. ‎ ‎14. 已知a、b是[0，1]上的两个随机数，则函数f(x)= x2+ax+b 有零点的概率等于_________.‎ ‎15. 在平面直角坐标系中，圆(R>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若劣弧AB的长为L， 则夹角的弧度数，从而. 在空间直角坐标系中，以原点为球心，半径为R的球面上两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2 ，z2)，若A、B两点间的球面距离为L，则等于__________________________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）‎ ‎16.(本题满分13分)‎ 已知中，角A、B、C成等差数列，且,‎ ‎ (Ⅰ) 求角A、B、C；‎ ‎(Ⅱ) 数列满足，前项和为，若，求n的值.‎ ‎17.(本题满分13分)‎ ‎3月是植树造林的最佳时节，公园打算在3.12植树节前后引种一批名优树种。现有甲、乙两家苗木场各送来一批同种树苗。公园园林部分别各抽取100棵测量其高度，得到如下的频率分布表：‎ 高度(cm)‎ 频 率 甲苗木场 ‎0.18‎ ‎0.24‎ ‎0.26‎ ‎0.32‎ 乙苗木场 ‎0.20‎ ‎0.30‎ ‎0.30‎ ‎0.20‎ ‎ (Ⅰ) 分别算出甲、乙两家苗木场树苗样本高度的平均值，；‎ ‎ (样本数据第i组的频率为pi，中间值为xi（…），则平均值为 ‎….)‎ ‎(Ⅱ) 根据样本数据可算得两个方差：，，结合(Ⅰ)中算出的数据，如果你是公园园林部主管，你将选择哪家苗木场的树苗？说明你的观点；‎ ‎(Ⅲ) 用分层抽样方法从乙苗木场的样本中抽取10棵，小林同学从这10棵中挑选2棵试种，其中高度在范围的有X棵，求X的分布列和数学期望.‎ ‎18．(本题满分13分)‎ 已知两点、，动点P满足，‎ ‎（1）求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.‎ A B C D E F ‎19题图 ‎19.(本题满分13分)‎ 如图，在RtΔABC中，∠ABC=3∠BAC=90°，BF⊥AC垂足是F，‎ AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=4CD =4，AE =3，‎ ‎ (Ⅰ)求证：BE⊥DF；‎ ‎(Ⅱ)求二面角B—DE—F的平面角的余弦值.‎ ‎20. (本小题满分14分)‎ 已知函数，‎ ‎ （I）求证：函数在上单调递增；‎ ‎ （Ⅱ）函数有三个零点，求t的值；‎ ‎ （Ⅲ）对，恒成立，求的取值范围。‎ ‎21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．‎ ‎(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵A=有一个属于特征值1的特征向量.‎ ‎ (Ⅰ) 求矩阵A；‎ ‎ (Ⅱ) 矩阵B=，点O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩阵AB的对应变换作用下所得到的的面积. ‎ ‎(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为 极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，‎ ‎(Ⅰ) 求l的普通方程及C的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) P为圆C上的点，求P到l距离的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知关于的不等式：≥对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2012.3漳州市高中毕业班质量检查试卷 理科数学 参考答案 一、 选择题：1.B，2.D，3.B，4.A，5. D，6. C，7.D，8. C，9. A，10.C.‎ 二、 填空题：11. 4 ；12. 160 ；13. 34 ；14.；15..‎ 三、 解答题：‎ ‎16.解：(Ⅰ)解法1：由已知得，又，‎ ‎∴， ……………………………………………………………2分 由得，，………4分 ‎∴，，∴，∴. ……………………………6分 解法2：由解法1知又由得，…………………………3分 ‎∴，∴，……………………………5分 ‎∴为，，. ………………………………………6分 ‎(Ⅱ) ………………………………8分 ‎ ∴…，………10分 ‎ 由，得，∴，……………………………………12分 ‎ ∴. ……………………………………………………………………………13分 ‎17.解：(Ⅰ)，‎ ‎ ，………………4分 ‎ (Ⅱ)观点一：选择乙场的树苗，因为其提供的树苗高度方差较小，成长较整齐，种在公园里比较好看。 ‎ ‎ 观点二：选择甲场的树苗，因为其提供的树苗平均高度较大，说明长势较好，且方差较大，种在公园里显得高矮错落有致，更能体现空间美感。‎ ‎（注：两种观点各有其理，只要能依据统计数据说明自己的观点，一样得分。）…………8分 ‎ (Ⅲ)10棵中高度在的有2棵，X可取值为0，1，2，X服从超几何分布，‎ ‎， ， ，‎ 故X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎. …………………………………………………13分 ‎18. 解：（1）设点P的坐标为（），则，，…………2分 ‎∵ ，∴，化简得,………………………4分 ‎∴ 动点P的轨迹E的方程为（）. ……………………………………5分 注：如果未说明，扣1分。‎ ‎（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），‎ 由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于轴，故可设HM所在直线的方程为，（不妨设k>0）‎ 则HN所在直线的方程为，………………………………………………7分 由求得交点M，（另一交点）‎ ‎∴，………………………………9分 用代替上式中的，得，‎ 由，得∴Þ，‎ 解得：或， …………………………………………………………11分 ‎ 当HM斜率时，HN斜率；当HM斜率时，HN斜率；‎ 当HM斜率时，HN斜率，‎ ‎ 综上述，符合条件的三角形有3个。……………………………………………………13分 A B C D E F ‎19题图 ‎19.(Ⅰ)证明：∵AE⊥平面ABC，AEÌ平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面ABC，平面AEC∩平面ABC=AC，‎ BFÌ平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥平面AEC，DFÌ平面AEC，‎ ‎∴BF⊥DF， ………………………………………………2分 ‎ 又∠ABC=3∠BAC=90°，∴BC=ACsin30°=4×=2，BF⊥AC，‎ ‎∴CF=BCcos60°=1=CD, CD∥AE，AE⊥平面ABC，‎ ‎∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∴∠DFC=45°，‎ A B C D E F y x z AF=AC-CF=3=AE，∴∠EFA=45°， ‎ ‎∴∠EFD=90°，即DF⊥EF，………………………4分 ‎ BF∩EF=F，BF、EFÌ平面BEF，∴ DF⊥平面BEF，‎ ‎∴DF⊥BE.……………………………………………6分 ‎ (Ⅱ)过F作Fz∥AE，由AE⊥平面ABC可知Fz⊥平面ABC，‎ 又BF⊥AC，∴BF、AC、l两两垂直，‎ ‎ 以F为原点，FA、FB、Fz依次为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图），则 ‎，，，，‎ ‎，，，…………………………………9分 ‎ 由(Ⅰ)知是平面DEF的一个法向量，设是平面BDE的一个法向量，则 ‎ 取z =2，得到 …………………………11分 ‎ ，‎ ‎ ∴二面角B—DE—F的平面角的余弦值为. ……………………………………………13分 ‎20. 解：（I），…………………………（1分）‎ ‎ 由于，∴，当时， ，∴ ， ……………（3分）‎ ‎ 故函数在上单调递增. ………………………………………………（4分）‎ ‎ （Ⅱ）令，得到， ……………………………（5分）‎ ‎ ，的变化情况如下表：…………………………………………………（7分）‎ x ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值1‎ 递增 ‎ 因为函数 有三个零点，所以共有三个根，即的图像与两条平行于x轴的直线共有三个交点.‎ ‎ 在递减，在递增，极小值也是最小值，当时，. ，∴有两个根，只有一个根.‎ ‎ ∴， ∴.（9分）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）问题等价于在的最大值与最小值之差.‎ 由（Ⅱ）可知在上递减，在上递增，∴，最大值等于，………………………………………………（10分）‎ ‎ ，， ，‎ ‎ 记， ‎ 则，（仅在时取等号）‎ ‎ ∴ 是增函数，当时，，‎ ‎ 即，∴，‎ ‎ 于是， ………………………………………（12分）‎ ‎ 故对，，‎ ‎ ，当时，，∴在单调递增，‎ ‎∴由可得的取值范围是. …………………………………（14分）www.ks5u ‎21.（1）解：解法一：(Ⅰ)由已知得，∴ …………2分 ‎ 解得 故A=. ………………………………………………………3分 ‎ (Ⅱ) AB==，∴ ，‎ ‎ ， ，……………5分 即点O，M，N变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，‎ ‎ 的面积为.……………………………………………………7分 ‎ （另解：）‎ ‎（2）解：l的普通方程，C的直角坐标方程为.…4分 ‎ C的标准方程为，圆心C(2，0)，半径为1，‎ 点C到l的距离为 ， ……………………………………6分 ‎∴P到l距离的取值范围是.………………………………………7分 ‎（3）解：∵ ……………………………………2分 ‎∴≥对R恒成立，等价于，……4分 即Û， ……………………………………………………6分 ‎ ∴的取值范围是.………………………………………………………………7分