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- 2021-04-16 发布
（1）理解古典概型及其概率计算公式.
（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
一、基本事件
在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.
基本事件有如下特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的.
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.
二、古典概型的概念及特点
把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
三、古典概型的概率计算公式
.
四、必记结论
（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．
（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．
考向一 古典概型的概率求解
1.求古典概型的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式，求出P(A)．
2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.
基本事件的表示方法有列举法、列表法、树状图法和计数原理法，具体应用时可根据需要灵活选择.
3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.
4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
典例1 一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取8人.
(1)求样本容量的值和从高二抽取的人数；
(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率.
【解析】(1)由题意可得,解得,
从高二抽取人.
从这7位同学中任选2人,有女生的有:,共 11 种,
故至少有1名女同学被选中的概率为.
1．在中任取个不同的数,则这个数的和小于的概率为 ．
2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为对服务好评率为其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率．
注:
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
.
考向二 用随机模拟估计概率
用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.
典例3 已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
321 421 191 925 271 932 800 478 589 663
531 297 396 021 546 388 230 113 507 965
据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为
A．0.25 B．0.30
C．0.35 D．0.40
【答案】B
3．袋子中有四个小球，分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，从中任取一个小球，取到“丙”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为
A． B．
C． D．
1．甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为
A． B．
C． D．
2．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为
A． B．
C． D．
3．袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于
A． B．
C． D．
4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
137 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
A．0.40 B．0.30
C．0.35 D．0.25
5．某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中,任取2名,则至少有1名优秀工人的概率为
A． B．
C． D．
6．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为
A． B．
C． D．
7．2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一张福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小张已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小张再扫两次可以集齐五福的概率为___________.
8．已知集合A={-2,3,5,7},从A中随机抽取两个不同的元素a,b,作为复数z=a+bi(i为虚数单位)的实部和虚部.则复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.
9．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).
具有“宅”属性
不具有“宅”属性
男生
20
50
女生
10
40
采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.
10．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们按年龄分成6段后得到如图所示的频率分布直方图.
(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数;
(2)若从年龄在中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.
11．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.
(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?
(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.
1．（2017山东理科）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A． B．
C． D．
变式拓展
1．【答案】
2．【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的列联表:
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
计算得的观测值为
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关．
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,则好评的交易次数为3次,不满意的次数为2次,令好评的交易为不满意的交易为.
从5次交易中,取出2次的所有取法为,,,，共计10种情况．
其中只有一次好评的情况是共计6种情况．
因此,只有一次好评的概率为．
3．【答案】B
【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13，共5组随机数，故所求概率为.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含个基本事件,
其中两人参加同一个小组包含个基本事件,
则所求概率为.故选A．
2．【答案】C
【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为.
3．【答案】B
4．【答案】B
【解析】由题意，得在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393，共6个数据，
则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.故选B．
5．【答案】C
【解析】依题意,平均数=22,故只有2名优秀工人,
从中任取2名共有=15(种)情况,
其中至少有1名优秀工人的情况有-=9(种),
故至少有1名优秀工人的概率为P=.
6．【答案】C
【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出,输出,输出,输出y=15,程序结束,
故A={3,0,-1,8,15},
其中有3个元素可使得函数是增函数,
故所求概率为.
7．【答案】
种,
根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P(M)=.
8．【答案】
【解析】从集合A={-2,3,5,7}中随机抽取两个不同的元素a,b,
组成复平面内的对应点有(-2,3),(-2,5),(-2,7),(3,-2),(3,5),(3,7),(5,-2),(5,3),(5,7),(7,-2),(7,3),(7,5),共12种;
其中位于第一象限的点有(3,5),(3,7),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5),共6种.
所以复数z在复平面内的对应点位于第一象限的概率为P=.故填.
9．【答案】
【解析】记事件M为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件为“选取的3人都是男生”.
采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a,b,c,d,女生有2人,编号分别为A,B．
从6人中随机选取3人的基本事件有{a,b,c},{a,b,d},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,d},{a,c,A},{a,c,B},{a,d,A},
{a,d,B},{a,A,B},{b,c,d},{b,c,A},{b,c,B},{b,d,A},{b,d,B},{b,A,B},{c,d,A},{c,d,B},{c,A,B},{d,A,B},共20个.
事件所含的基本事件分别为{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},共4个,
所以事件的概率为P()=,
所以事件M的概率为P(M)=1-P()=1-.
其中恰有1人在的有8种,
故这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率为.
11．【解析】(1)从甲、乙两所学校中各抽取的20名高三学生的身体综合素质分中可得,甲学校有15名需要加强训练和需要提高训练的高三学生,乙学校有16名需要加强训练和需要提高训练的高三学生.
由样本估计总体知,甲学校中需要加强训练和需要提高训练的高三学生人数为365×=273.75≈274,乙学校中需要加强训练和需要提高训练的高三学生人数为365×=292.
(2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D1,D2,D3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d1,d2,d3,
则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D1,D2),(D1,D3),(D2,D3),(d1,d2),(d1,d3),(d2,d3),(D1,d1),
(D1,d2),(D1,d3),(D2,d1),(D2,d2),(D2,d3),(D3,d1),(D3,d2),(D3,d3).
记“抽取的2名高三学生均为运动健儿”为事件M,则其包含的结果有3种:(D1,D2),(D1,D3),(D2,D3).
故抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率为P(M)=.
直通高考
1．【答案】C
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.