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第十八章 平行四边形
18.2特殊的平行四边形
第4课时菱形(二)
夯实基础
1. 如图KH18-2-21,在ABCD中,AC与BD交于点O,下列
判断中不正确的是 ( )
A. 若AB=BC,则 ABCD是菱形
B. 若AC⊥BD,则 ABCD是菱形
C. 若AC平分∠BAD,则 ABCD是菱形
D. 若AC=BD,则 ABCD是菱形
D
2. 如图KH18-2-22,AC是平行四边形ABCD的对角线,当它
满足以下:①∠1=∠2;②∠2=∠3;③∠B=∠3;
④∠1=∠3中某一条件时,平行四边形ABCD是菱形,这个
条件是 ( )
A. ①或②
B. ②或③
C. ③或④
D. ①或④
D
3. 如图KH18-2-23,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,
使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧
交于点C;连接AC,BC,AB,OC. 若AB=2 cm,四边形
OACB的面积为4 cm2. 则OC的长为 ( )
A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 5 cm
C
4. 如图KH18-2-24,AD是△ABC的角平分线,DE∥AC交AB
于E,DF∥AB交AC于F. 且AD交EF于O,则∠AOF=
__________度. 90
5. 如图KH18-2-25, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,若要使四边
形EFGH成为菱形,则 ABCD应满足的条件是
__________________________________(写出一种即可). AB=AD或AC⊥BD(答案不唯一)
6. 如图KH18-2-26,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于
点O,添加一个条件判定 ABCD是菱形,所添条件为
___________________________________(写出一个即可)AB=AD(答案不唯一)
7. 如图KH18-2-27,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是
AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,且AF
=DC,连接CF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若∠BAC=90°,求证:四边形ADCF是菱形.
(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE.
∵E是AD的中点,∴AE=DE.
在△AEF和△DEB中,
∴△AEF≌△DEB(AAS).
∴AF=DB.∵AF=DC,∴DB=DC.
即D是BC的中点.
(2)证明:∵AF∥DC,AF=DC,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,DB=DC,
∴AD= BC=DC.
∴四边形ADCF是菱形.
能力提升
8. 如图KH18-2-28,在 ABCD中,点E在AD边上运动
(点E不与点A,D重合).
(1)如图1,当点E运动到AD边的中点时,连接BE,若BE
平分∠ABC,证明:AD=2AB;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.∴∠CBE=∠AEB.
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE.
∴∠AEB=∠ABE.∴AB=AE.
又∵AD=2AE,∴AD=2AB.
(2)如图2,过点E作EF⊥BC且交DC的延长线于点F,连接
BF. 若∠ABC=60°,AB= ,AD=2,在线段DF上是否
存在一点H,使得四边形ABFH是菱形?若存在,请说明点E,
点H分别在线段AD,DF上什么位置时四边形ABFH是菱形,
并证明;若不存在,请说明理由.
(2)解:存在. 当AH⊥DF且DE= 时,
四边形ABFH是菱形. 理由如下:
如答图18-2-11,过点A作AH⊥DF于H.
在平行四边形ABCD中,AD∥BC,
∠ABC=∠ADC=60°,
在Rt△AHD中,∠AHD=90°,∠ADH=60°.
∴∠DAH=30°.∴DH= AD=1,
AH= 在Rt△DEF中,∠EFD=30°,
∴DF=2DE=1+ .∴FH=DF-DH=1+ -1= .
∴FH=AB.
又∵在平行四边形ABCD中,AB∥DC,点F在DC的延长线上,
∴FH∥AB,∴四边形ABFH是平行四边形. ∵AH=AB,
∴四边形ABFH是菱形.
9. 如图KH18-2-29,在 ABCD中,AB=2AD,DE平分
∠ADC,交AB于点E,交CB的延长线于点F,EG∥AD交DC于
点G.
(1)求证:四边形AEGD为菱形;
(2)若∠ADC=60°,AD=2,求DF的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.∴∠AED=∠GDE,
∵AE∥DG,EG∥AD,
∴四边形AEGD是平行四边形.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠GDE.
∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.
∴四边形AEGD为菱形.
(2)解:如答图18-2-12,连接AG交DF于H,
∵四边形AEGD为菱形,
∴AD=DG,AG⊥DE.
∵∠ADC=60°,AD=2,
∴△ADG是等边三角形,AG=AD=2.
∴∠ADH=30°,AH= AG=1.
∴DH= AH= .∴DE=2DH=2 .
∵AD=AE,AB=2AD,AD∥CF,EG∥AD,
∴DG=BE,∠EDG=∠FEB,∠DGE=∠C=∠EBF,
在△DGE和△EBF中,
∴△DGE≌△EBF(ASA).∴DE=EF.∴DF=2DE=4 .
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