数学文卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期中考试（2017 11页

福建省闽侯第六中学2018届高三上学期期中考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 对于直线和平面，下列条件中能得出的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.执行如图的程序框图，如果输入，则输出的值为（ ）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎5. 等差数列前项和为，已知，，则（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎6.已知函数，则函数的图象为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A．64 B． C．16 D．‎ ‎9.是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎10. 命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 如图，在正方体中，，平面经过，直线，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 若存在实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 如图，正方形的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，有30个点落入图形中，则图形的面积的估计值为 . ‎ ‎14.设分别是双曲线的左、右焦点，点，若，则双曲线的离心率为 .‎ ‎15. 若数列满足：且，数列满足，‎ 则数列的最大项为第 项．‎ ‎16. 已知函数，若曲线在点，（，其中 互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为三个内角的对边，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18. 在某次数学测验中，有6位同学的平均成绩为117分，用表示编号为的同学所得成 绩，6位同学成绩如表，‎ ‎（1）求及这6位同学成绩的方差；‎ ‎（2）从这6位同学中随机选出2位同学，则恰有1位同学成绩在区间中的概率.‎ ‎19.如图，在直三棱柱中，，是的中点，‎ 是的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证：.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值点；‎ ‎（2）设，若函数在 内有两个极值点，求证：.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.‎ ‎23.在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为.‎ ‎（1）求直线的参数方程；‎ ‎（2）求.‎ ‎24.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADCBA 6-10: DCDBB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. 0.6 14. 2 15. 6 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）‎ ‎∴‎ 即 又 ∴ ‎ 即 ∴‎ ‎（2）解法一：∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即 又由三角形边的性质知，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 解法二：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）由得 ‎（2）由数据知，6名同学中成绩在之间的有两人，记为，成绩不在之间的有4 人，记为，从6位同学中随机抽取2名同学所有可能结果组成的基本事件空间可以为 ‎ ‎ 基本事件空间中共有基本事件15个，‎ 设恰有1位同学成绩在区间中为事件，‎ 中含基本事件8个，‎ ‎∴‎ ‎19.证明：（1）取中点，记为点，连结 ‎∵为中点，为中点 ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴平面平面 又平面 ‎∴平面 ‎（2）方法一：由于为中点，故两点到平面的距离相等 ‎∴‎ 又∵ ‎ 点到平面的距离为点到平面 的距离的，‎ 即，‎ ‎∴‎ 方法二：‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎20.解：∵，∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）设，则，‎ 直线方程为 令,则 ‎∴‎ 同理 ‎∵和均为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴与互余，‎ ‎∴‎ ‎ 21.解：（1）∵‎ ‎①若，由得；由，可得，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.‎ ‎②若，由得；由，可得或，即函数在上为增函数；由，可得，即函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.‎ ‎③若，则，在上大于等于零恒成立，故函数在上单调递增，无极值点.‎ ‎④ 若，由得；由可得或，所以函数在上为增函数；由，可得，所以函数在上为减函数，所以函数在上有极大值点，极小值点.‎ ‎（2），则 记，由题意可知方程即在上有两个不等实数根.所以 解得：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎22.（1）连接.则有为直角三角形，所以，又 所以，所以 即，又，故 ‎（2）因为为圆的切线，所以 又，从而解得 因为，‎ 所以，所以，即.‎ ‎23.解：（1）∵直线过点，且倾斜角为.‎ ‎∴直线的方程为（为参数），‎ 即直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎24.解：（1）由已知得，，由绝对值的几何意义可得或，从而函数的定义域为.‎ ‎（2）不等式，即，则，恒有 又不等式解集是，故，即，‎ 即的取值范围是.‎