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- 2021-04-16 发布
数学（文）试卷（5）
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．.已知集合( )
A. B. C. D.
2．复数是纯虚数，则＝（ ）
A． B． C． D．
2
3
4
甲
乙
9 4
m
2
5 n
1 3
2
3．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝（ ）
A． B． C．2 D．3
4．在等差数列中，表示数列的前n项和，则（ ）
A.134 B.135 C.136 D.137
5．已知a > 0, b > 0, 两直线 ,
且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
6. 是
否
开始
结束
输出
执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．圆柱的底面半径为，侧面积是底面积的4倍。是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点，则使的概率为( )
A． B． C． D．
8．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“，使得”的否定是:“对， 均有” ；
③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；
④若函数在有极值，则或.
A． 0 B． 1 C． 2 D．3
9. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 函数的图象大致为（ ）
11. 已知抛物线，过Ｆ的直线与Ｃ交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在第一象限），且，直线与圆Ｍ相切，则（ ）
A． 0 B． C． D．3
12.若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2
2
1
1
1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积为
14．已知
E、F分别为边上三等分点，则=
15. 若数列的前项和为，对任意正整数都有，记，则数列的前50项的和为 ．
16. 如右图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为,若直角三角形的两条直角边的长分别为,则 .
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．
17. （本小题满分12分）
已知各项都不相等的等差数列中，，又成等比数列。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若函数，，的一部分图像
如图所示，，为图象上的两点，设，
其中为坐标原点，，求的值.
18．（本小题满分12分）
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差x（oC）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
（I）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；
（II）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（参考公式：回归直线方程式，其中）
19. （本小题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
（I）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD＝2，求三棱锥A－BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积.
20. （本小题满分12分）
已知点为椭圆上一个动点，且点到两焦点的距离之和为4，离心率为，且点与点关于原点对称，
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作椭圆的切线与圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程．
21. （本小题满分12分）
已知函数,
（I）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值。
请考生在第22 – 23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极轴，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（I）求圆的圆心到直线的距离；
（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.
23．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
（I）已知非零常数、满足，求不等式的解集；
（Ⅱ）若，恒成立，求常数的取值范
数学（文）试卷答案
1.【答案】B
【解析】由条件可得，.
2．【答案】C
【解析】∵复数是纯虚数，
∴,∴,
∴,故选C。
3.【答案】A
【解析】由茎叶图可知乙的中位数是31，甲、乙两组数据中位数相同所以，解得，所以甲的平均数为，甲、乙两组数据平均数也相同，所以解得，所以，故选A。
4.【答案】B
【解析】
5．【答案】C
【解析】
6. 【答案】C
【解析】由程序框图可知：
……
……
∴周期为3，由，得输出的结果为．
7．【答案】C
【解析】设圆柱的高为，底面积为，侧面积为，因为侧面积是底面积的4倍，所以。当时，点在以为球心，
为半径的球内，因为圆柱的体积为，球的体积为，所以概率为。
8．【答案】A
【解析】①错,两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②错，命题“，使得”的否定是:“对，均有”；
③错，命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件；
④错，，则有，解得或，而当时，，此时函数无极值，故④不正确；
9. 【答案】C
【解析】令，原式=
=
10. 【答案】D
【解析】试题分析：函数的定义域，由于，，因此函数是奇函数，所以排除A，
当x从大于0的方向接近0时，，排除B；当x无限接近时，接近于0．
11.【答案】B
【解析】由题意，设
，由得由上可解得
，
圆
12. 【答案】A
【解析】，欲使有两个零点，由数形结合分析得
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．【答案】
【解析】由三视图还原可求得外接球半径为，
14．【答案】
【解析】由
①
②
①-②,得,
15.【答案】
【解析】由可得 再由，则 数列的前50项通过裂项相消可求得为
16. 【答案】
【解析】设小正方形的边长为，则大正方形边长为，， ，化为，因为，所以，
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．
17. （I）解：由题可知，
故 ………..5分
（Ⅱ）∵点在函数的图象上，
∴，又∵，∴……………7分
如图，连接，在中，由余弦定理得
又∵
∴………………10分
∴ ……….12分
18．解：（I）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．
其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为．………..6分
（II）∵
∴． …………9 分
于是，．…………11 分
故所求线性回归方程为．…………12分
19.解：（Ⅰ）证明:在题图甲中，
∵AB＝BD且∠A＝45°，
∴∠ADB＝45°，∠ABC＝90°即AB⊥BD，……….2分
又在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，
且平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD………….4分
∵∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，
又由AB∩BC＝B，∴DC⊥平面ABC………….6分
（Ⅱ）解∵点E、F分别为AC、AD的中点∴EF∥CD，
又由(1)知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，于是EF即为三棱锥F－ABE的高，
∴VA－BFE＝VF－AEB＝S△AEB·FE，………….8分
在题图甲中，∵∠ADC＝105°，
∴∠BDC＝60°，∠DBC＝30°，
由CD＝a得BD＝2a，BC＝a，EF＝CD＝a，
∴S△ABC＝AB·BC＝·2a·a＝a2，
∴S△AFB＝a2，∴VA－BFE＝·a2·a＝a3. ……………10分
∵a=2, ∴VA－BFE＝又∴三棱锥A－BCD夹在平面BEF与平面BCD间的体积…………………12分
20.解：（I）椭圆的方程：．…………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，
∴设直线的方程为，
由，得．………5分
∵直线与椭圆相切，
∴，∴．……….6分
原点到直线的距离，则，
∴
，……………9分
当，即时，的面积取得最大值．
此时，即，
由，解得，……………….11分
∴直线的方程为或或或．…………………..12分
21.解：（Ⅰ）因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为2，
所以，…………….…….2分
又，所以，即
所以所求切线为………………4分
（Ⅱ）由题意可知
…..6分
22.解：（Ⅰ）解：圆C：，C
由可得直线的方程为，
所以圆的圆心到直线的距离为………………….5分
（Ⅱ）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，
即，由于，
故可设是上述方程的两个实根，
所以又直线过点，
故由上式及其几何意义得…………………10分
23．（Ⅰ），∴，
∴，或，
当时，，，
当时，，
∴，或，∴或，
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．………………..5分
（Ⅱ）由，得，
∴或，
∴或，
∵，，
若，恒成立，
∴，或．……………………….10分