2018届二轮复习高考大题专项突破4课件（全国通用） 36页

高考大题专项突破四 　 高考 中的立体几何 - 2 - 从近五年的高考试题来看 , 立体几何解答题是高考的重点内容之一 , 每年必考 , 一般处在试卷第 18 题或者第 19 题上 , 主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积 , 试题以中档难度为主 . 着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想 , 几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主 . - 3 - 1 . 证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1) 证明线线平行常用的方法 : ① 利用平行公理 , 即证两直线同时和第三条直线平行 ; ② 利用平行四边形进行平行转换 ; ③ 利用三角形的中位线定理证线线平行 ; ④ 利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法 : ① 利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质 ; ② 勾股定理 ; ③ 线面垂直的性质 : 即要证两线垂直 , 只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可 , 即 l ⊥ α , a ⊂ α ⇒ l ⊥ a. 2 . 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1) 证明线面、面面平行 , 需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直 , 需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直 , 需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直 , 需转化为证明线面垂直 , 进而转化为证明线线垂直 . - 4 - 3 . 求几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体 , 可直接利用公式计算 . 对于某些三棱锥 , 有时可采用等体积转换法求解 . (2) 对于不规则几何体 , 可采用割补法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时 , 注意圆柱的轴截面是矩形 , 圆锥的轴截面是等腰三角形 , 圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . 4 . 解决平面图形的翻折问题 , 关键是抓住平面图形翻折前后的不变性 , 即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性 . - 5 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 　 平行关系的证明及求体积 例 1 如图 , 在 四 棱锥 P-ABCD 中 , PA ⊥ 底面 ABCD , AD ∥ BC , AB=AD=AC= 3, PA=BC= 4, M 为线段 AD 上一点 , AM= 2 MD , N 为 PC 的中点 . (1) 证明 MN ∥ 平面 PAB ; (2) 求四面体 N-BCM 的体积 . - 6 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 7 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 8 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解题心得 1 . 证明平行关系 , 首先考虑的方法是转化法 . 证明线面平行、面面平行可以转化为证明线线平行 ; 证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行 . 若题目中已出现了中点 , 可考虑在图形中再取中点 , 构成中位线进行证明 . 2 . 求几何体的体积也常用转化法 , 如本例中求几何体的高和求几何体底面三角形的高 . 点 N 到底面的距离转化为点 P 到底面距离的一半 ; 点 M 到 BC 的距离转化为点 A 到 BC 的距离 . - 9 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 10 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 11 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 12 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二 　 等积法求高或距离 例 2 (2017 河南洛阳一模 , 文 19) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是菱形 , 且 ∠ DAB= 60 ° , PA=PD , M 为 CD 的中点 , 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD. (1) 求证 : BD ⊥ PM ; (2) 若 ∠ APD= 90 ° , , 求点 A 到平面 PBM 的距离 . - 13 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (1) 证明 取 AD 中点 E , 连接 PE , EM , AC , ∵ 底面 ABCD 是菱形 , ∴ BD ⊥ AC , ∵ E , M 分别是 AD , DC 的中点 , ∴ EM ∥ AC , ∴ EM ⊥ BD. ∵ PA=AD , ∴ PE ⊥ AD , ∵ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , 平面 PAD ∩ 平面 ABCD=AD , ∴ PE ⊥ 平面 ABCD , ∴ PE ⊥ BD , ∵ EM ∩ PE=E , ∴ BD ⊥ 平面 PEM , ∵ PM ⊂ 平面 PEM , ∴ BD ⊥ PM. - 14 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解题心得 求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置 , 其体积相等的方法求解 . - 15 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 2 (2017 陕西渭南二模 , 文 19) 已知在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是矩形 , 且 AD= 2, AB= 1, PA ⊥ 平面 ABCD , E , F 分别是线段 AB , BC 的中点 . (1) 证明 : PF ⊥ FD ; (2) 若 PA= 1, 求点 E 到平面 PFD 的距离 . - 16 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 17 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型三 　 定义法求高或距离 例 3 (2017 全国 Ⅰ , 文 18 改编 ) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , AB ∥ CD , 且 ∠ BAP= ∠ CDP= 90 ° . (1) 证明 : 平面 PAB ⊥ 平面 PAD ; (2) 若 PA=PD=AB=DC , ∠ APD= 90 ° , 且四棱锥 P-ABCD 的体积为 , 求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积 . - 18 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 (1) 由已知 ∠ BAP= ∠ CDP= 90 ° , 得 AB ⊥ AP , CD ⊥ PD. 由于 AB ∥ CD , 故 AB ⊥ PD , 从而 AB ⊥ 平面 PAD. 又 AB ⊂ 平面 PAB , 所以平面 PAB ⊥ 平面 PAD. (2) 在平面 PAD 内作 PE ⊥ AD , 垂足为 E. - 19 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解题心得 求几何体的高或点到面的距离 , 经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或要求的距离 . 其步骤为 : 一作、二证、三求 . 如何作出点到面的距离是关键 , 一般的方法是利用辅助面法 , 所作的辅助面 , 一是要经过该点 , 二是要与所求点到面的距离的面垂直 , 这样在辅助面内过该点作交线的垂线 , 点到垂足的距离即为点到面的距离 . - 20 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 3 如图 , 四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为矩形 , PA ⊥ 平面 ABCD , E 为 PD 的中点 . (1) 证明 : PB ∥ 平面 AEC ; - 21 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 22 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四 　 垂直关系的证明及求体积 例 4 (2017 北京 , 文 18) 如图 , 在三棱锥 P-ABC 中 , PA ⊥ AB , PA ⊥ BC , AB ⊥ BC , PA=AB=BC= 2, D 为线段 AC 的中点 , E 为线段 PC 上一点 . ( 1) 求证 : PA ⊥ BD ; (2) 求证 : 平面 BDE ⊥ 平面 PAC ; (3) 当 PA ∥ 平面 BDE 时 , 求三棱锥 E-BCD 的体积 . - 23 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (1) 证明 因为 PA ⊥ AB , PA ⊥ BC , 所以 PA ⊥ 平面 ABC. 又因为 BD ⊂ 平面 ABC , 所以 PA ⊥ BD. (2) 证明 因为 AB=BC , D 为 AC 中点 , 所以 BD ⊥ AC. 由 (1) 知 , PA ⊥ BD , 所以 BD ⊥ 平面 PAC. 所以平面 BDE ⊥ 平面 PAC. - 24 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解题心得 从解题方法上讲 , 由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化 , 因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行 . - 25 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 4 (2017 全国 Ⅲ , 文 19) 如图 , 四面体 ABCD 中 , △ ABC 是正三角形 , AD=CD. (1) 证明 : AC ⊥ BD ; (2) 已知 △ ACD 是直角三角形 , AB=BD , 若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点 , 且 AE ⊥ EC , 求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 . - 26 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (1) 证明 取 AC 的中点 O , 连接 DO , BO.   因为 AD=CD , 所以 AC ⊥ DO. 又由于 △ ABC 是正三角形 , 所以 AC ⊥ BO. 从而 AC ⊥ 平面 DOB , 故 AC ⊥ BD. - 27 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2) 解 连接 EO. 由 (1) 及题设知 ∠ ADC= 90 ° , 所以 DO=AO. 在 Rt △ AOB 中 , BO 2 +AO 2 =AB 2 . 又 AB=BD , 所以 BO 2 +DO 2 =BO 2 +AO 2 =AB 2 =BD 2 , 故 ∠ DOB= 90 ° . - 28 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五 　 图形折叠后的垂直关系及求体积 例 5 (2016 全国 Ⅱ , 文 19) 如图 , 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O , 点 E , F 分别在 AD , CD 上 , AE=CF , EF 交 BD 于点 H. 将 △ DEF 沿 EF 折到 △ D'EF 的位置 . - 29 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 30 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解题心得 平面图形经过翻折成为空间图形后 , 原有的性质有的发生变化、有的没变 . 一般地 , 在翻折后还在一个平面上的性质一般不发生变化 , 不在同一个平面上的性质可能发生变化 , 解决这类问题就是要根据这些变与不变 , 去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值 , 这是化解翻折问题的主要方法 . - 31 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 5 (2017 宁夏银川二模 , 文 19) 如图 1, 菱形 ABCD 的边长为 12, ∠ BAD= 60 ° , AC 交 BD 于点 O. 将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起 , 得到三棱锥 B-ACD , 点 M , N 分别是棱 BC , AD 的中点 , 且 DM = .   (1) 求证 : OD ⊥ 平面 ABC ; (2) 求三棱锥 M-ABN 的体积 . - 32 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 33 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 34 - - 35 - - 36 -