2020年陕西省西安市高新一中中考数学六模试卷 12页

‎2020年陕西省西安市高新一中中考数学六模试卷 一、选择题（共10小题）‎ ‎ ‎ ‎1. 今年是我国脱贫攻坚决胜之年，全国要完成‎3900000‎贫困人口的搬迁建设任务，数据‎3900000‎用科学记数法应表示为（ ） ‎ A.‎0.39×‎‎10‎‎8‎ B.‎3.9×‎‎10‎‎7‎ C.‎3.9×‎‎10‎‎6‎ D.‎‎39×‎‎10‎‎5‎ ‎ ‎ ‎2. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则其主（正）视图为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎3. 如图，直线l‎1‎‎ // ‎l‎2‎，CD⊥AB于点D，‎∠1‎＝‎44‎‎∘‎，则‎∠2‎的度数为（ ） ‎ A.‎30‎‎∘‎ B.‎44‎‎∘‎ C.‎46‎‎∘‎ D.‎‎56‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎4. 若正比例函数的图象经过点‎(−1, 2)‎，则这个图象必经过点‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎(1, 2)‎ B.‎(−1, −2)‎ C.‎(2, −1)‎ D.‎‎(1, −2)‎ ‎ ‎ ‎5. 下列运算正确的是(        ) ‎ A.a‎6‎‎÷a‎2‎=‎a‎3‎ B.‎5a‎2‎−3a‎2‎=2a C.‎(−a‎)‎‎2‎⋅a‎3‎=‎a‎5‎ D.‎‎5a+2b=7ab ‎ ‎ ‎6. 如图，在‎△ABC中，AD是‎∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，‎∠B＝‎30‎‎∘‎，‎∠C＝‎45‎‎∘‎，BE=‎‎3‎，则CD长是（ ） ‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎7. 已知直线y＝x+2‎与直线y＝kx−2‎的交点在第二象限，则k的取值可能为（ ） ‎ A.‎−2‎ B.‎−1‎ C.‎1‎ D.‎‎2‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF交于点G．若BC＝‎8‎，DE＝AF＝‎2‎，则FG的长为（ ） ‎ A.‎26‎‎5‎ B.‎24‎‎5‎ C.‎38‎‎5‎ D.‎‎32‎‎5‎ ‎ ‎ ‎9. 如图，‎△ABC内接于圆O，‎∠A＝‎50‎‎∘‎，‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则‎∠AEB等于（ ） ‎ A.‎70‎‎∘‎ B.‎90‎‎∘‎ C.‎110‎‎∘‎ D.‎‎120‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎10. 已知二次函数y＝ax‎2‎+bx+c(a≠0)‎的图象如图所示，分析下列四个结论，其中正确结论的个数有（ ） ①abc<0‎；②‎3a+c>0‎；③‎(a+c‎)‎‎2‎<‎b‎2‎；④‎4ac−8a<‎b‎2‎ ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 二、填空题（共4小题）‎ ‎ ‎ ‎ 不等式x+3‎‎2‎‎>x的最大整数解是________． ‎ ‎ ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ 如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则‎∠1‎与‎∠2‎的度数和为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎为反比例函数y=kx(k≠0)‎图象上的两点，若x‎1‎＝x‎2‎‎+1‎，‎2‎y‎1‎‎−‎2‎y‎2‎=3‎，则k的值为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在矩形ABCD中，AB＝‎6‎，BC＝‎10‎，点E是AD边的中点，点F是线段AB上任一点，连接EF，以EF为直角边在AD下方作等腰直角‎△EFG，FG为斜边，连接DG，则‎△DEG周长最小值为________． ‎ 三、解答题（共11小题）‎ ‎ ‎ ‎ 计算：‎(−‎1‎‎2‎‎)‎‎−2‎+|2−‎3‎|−(‎5‎−‎3‎‎)‎‎0‎−2sin‎60‎‎∘‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 计算：‎(x+8‎x‎2‎‎−4‎−‎2‎x−2‎)÷‎x−4‎x‎2‎‎−4x+4‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在Rt△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，点D是斜边AB上的中点，用尺规在边AC上求作一点E，使DE=‎1‎‎2‎BC．（保留作图痕迹，不写作法） ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，AB // CD，且AB＝CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE＝BF，连接AE、DF．求证：AE // DF． ‎ ‎ ‎ ‎ “体育如花绽放快乐校园，青春似火燃烧亮丽人生”，我校为了解八年级学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了我校的部分八年级学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题： ‎ ‎（1）图①中m的值为________，统计的这组每天在校体育活动时间数据的众数是________，中位数是________；‎ ‎ ‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎ ‎ ‎（3）请估计我校八年级‎2400‎名学生每天在校体育活动时间至少‎1.5h的学生人数．‎ ‎ ‎ ‎ 九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼晴与地面的高度ED＝‎1.5‎米，CD＝‎1‎米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了‎15.8‎米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝‎1.6‎米，FH＝‎3.2‎米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB． ‎ ‎ ‎ ‎ 某企业准备印刷一批宣传册，经了解，现有甲、乙两家印刷厂比较合适，两家印刷厂报价均为‎20‎元/册，两家的印刷质量完全相同，甲印刷厂表示，每册按八折收费；乙印刷厂表示，若印刷量不超过‎500‎册，每册都按九折收费，超过‎500‎册，未超出部分按九折收费，超出部分按七五折收费．若该企业准备印刷宣传册x册． ‎ ‎（1）请分别写出甲、乙两家印刷厂收取印刷费y（元）与x（册）之间的函数关系式；‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎ ‎ ‎（2）若该企业印刷‎2200‎册宣传册，请你计算，在甲、乙两家印刷厂中，选择哪家印刷厂更省钱？‎ ‎ ‎ ‎ ‎2020‎年春，一场新冠肺炎疫情席卷全国，在这场与疫情的战斗中，基层干部也是主力军，不少党员干部放弃春节与家人团聚的机会，吃住在抗“疫”第一线，奋战在防控疫情最需要的地方．某单位甲、乙两名党员计划报名到各社区参加疫情防控工作，现有A、B、C、D四个社区可供他们选择． ‎ ‎（1）党员甲从四个社区随机选择一个报名，求恰好选择A或B社区的概率；‎ ‎ ‎ ‎（2）若甲、乙两名党员各随机从四个社区中选择一个报名，请用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个社区的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）在平面直角坐标系中，抛物线L‎1‎‎:y＝mx‎2‎+2mx+n与x轴交于A(−4, 0)‎和点C，且经过点B(−2, 3)‎，若抛物线L‎1‎与抛物线L‎2‎关于y轴对称，求抛物线L‎2‎的解析式．‎ ‎ ‎ ‎（2）在（1）的条件下，记点A的对应点为A′‎，点B的对应点为B′‎，现将抛物线L‎2‎上下平移后得到抛物线L‎3‎，抛物线L‎3‎的顶点为M，抛物线L‎3‎的对称轴与x轴交于点N，试问：在x轴的下方是否存在一点M，使‎△MNA′‎与‎△ACB′‎相似？若存在，请求出抛物线的L‎3‎的解析式；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 问题提出： ‎ ‎（1）如图①，‎△ABC是等边三角形，AB＝‎4‎，若点O是‎△ABC的内心，则OA的长为________； 问题探究：‎ ‎ ‎ ‎（2）如图②，已知‎△ABC，‎∠BAC＝‎30‎‎∘‎，AD是‎△ABC的高，且AD＝‎6‎，求‎△ABC面积的最小值． 问题解决：‎ ‎ ‎ ‎（3）如图③，如图，有一块矩形ABCD的钢板，AB＝‎6+4‎‎3‎，BC＝‎12+8‎‎3‎，现截去一块直角‎△ABE钢板，其中‎∠AEB＝‎30‎‎∘‎，工人师傅想将剩下的钢板合理利用，截出一个四边形BMFN，满足点F在边CD上，DF:CF=‎3‎:2‎，点M在BE上，点N在BC上，且‎∠MFN＝‎90‎‎∘‎，请问这个四边形BMFN的面积是否存在最大值？若存在，试求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 参考答案与试题解析 ‎2020年陕西省西安市高新一中中考数学六模试卷 一、选择题（共10小题）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 科学记数法--表示较大的数 ‎【解析】‎ 根据科学记数法形式：a×‎‎10‎n，其中‎1≤|a|<10‎，n为正整数，即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎3900000‎用科学记数法应表示为：‎3.9×‎‎10‎‎6‎．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 简单组合体的三视图 ‎【解析】‎ 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．‎ ‎【解答】‎ 从正面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱用虚线表示，‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 垂线 平行线的性质 ‎【解析】‎ 根据直角三角形的两个锐角互余，可以得到‎∠CBD的度数，再根据直线l‎1‎‎ // ‎l‎2‎，可以得到‎∠CBD＝‎∠2‎，从而可以得到‎∠2‎的度数，本题得以解决．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ CD⊥AB于点D，‎∠1‎＝‎44‎‎∘‎， ∴ ‎∠CBD＝‎46‎‎∘‎， ∵ 直线l‎1‎‎ // ‎l‎2‎， ∴ ‎∠CBD＝‎∠2‎， ∴ ‎∠2‎＝‎46‎‎∘‎，‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 待定系数法求正比例函数解析式 ‎【解析】‎ 求出函数解析式，然后根据正比例函数的定义用代入法计算．‎ ‎【解答】‎ 解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)‎， 因为正比例函数y=kx的图象经过点‎(−1, 2)‎， 所以‎2=−k， 解得：k=−2‎， 所以y=−2x， 把这四个选项中的点的坐标分别代入y=−2x中，等号成立的点就在正比例函数y=−2x的图象上， 所以这个图象必经过点‎(1, −2)‎． 故选D．‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 同底数幂的乘法 幂的乘方与积的乘方 合并同类项 ‎【解析】‎ 根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的定义，进行逐项分析解答，用排除法找到正确的答案．‎ ‎【解答】‎ 解：A、原式‎=a‎6−2‎=‎a‎4‎，故本选项错误， B、原式‎=(5−3)a‎2‎=2‎a‎2‎，故本选项错误， C、原式‎=a‎2‎⋅a‎3‎=‎a‎5‎，故本选项正确， D、原式中的两项不是同类项，不能进行合并，故本选项错误. 故选C．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 角平分线的性质 含30度角的直角三角形 ‎【解析】‎ 根据锐角三角函数可以得到DE的长，然后根据平分线的性质，可以得到DE＝DF，再根据‎∠C＝‎45‎‎∘‎，即可得到CD的长，本题得以解决．‎ ‎【解答】‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ DE⊥AB于点E，BE=‎‎3‎，‎∠B＝‎30‎‎∘‎， ∴ DE＝BE⋅tan‎30‎‎∘‎=‎3‎×‎3‎‎3‎=1‎， 作DF⊥AC于点F， ∵ AD是‎∠BAC的角平分线， ∴ DE＝DF， ∴ DF＝‎1‎， ∵ ‎∠C＝‎45‎‎∘‎， ∴ CD=DFsin45‎=‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎2‎，‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 一次函数图象与系数的关系 两直线平行问题 相交线 两直线相交非垂直问题 两直线垂直问题 ‎【解析】‎ 根据直线y＝x+2‎与直线y＝kx−2‎的交点在第二象限，可以求得k的取值范围，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】‎ y=x+2‎y=kx−2‎‎ ‎‎， 解得，x=‎‎4‎k−1‎y=‎‎2k+2‎k−1‎‎ ‎， ∵ 直线y＝x+2‎与直线y＝kx−2‎的交点在第二象限， ∴ ‎4‎k−1‎‎<0‎‎2k+2‎k−1‎‎>0‎‎ ‎， 解得，k<−1‎，‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正方形的性质 全等三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 证明‎△BCE≅△CDF(SAS)‎，得‎∠CBE＝‎∠DCF，所以‎∠CGE＝‎90‎‎∘‎，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．‎ ‎【解答】‎ 在正方形ABCD中，∵ BC＝‎8‎， ∴ BC＝CD＝AD＝‎8‎，‎∠BCE＝‎∠CDF＝‎90‎‎∘‎， ∵ AF＝DE＝‎2‎， ∴ DF＝CE＝‎6‎， ∴ BE＝CF＝‎10‎， 在‎△BCE和‎△CDF中， BC=CD‎∠BCE=∠CDFCE=DF‎ ‎， ∴ ‎△BCE≅△CDF(SAS)‎， ∴ ‎∠CBE＝‎∠DCF， ∵ ‎∠CBE+∠CEB＝‎∠ECG+∠CEB＝‎90‎‎∘‎＝‎∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG=BCBE=‎CGCE． ∴ ‎8‎‎10‎‎=‎CG‎6‎，CG=‎‎24‎‎5‎， ∴ GF＝CF−CG＝‎10−‎24‎‎5‎=‎‎26‎‎5‎，‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 圆周角定理 ‎【解析】‎ 因为‎∠A＝‎50‎‎∘‎，‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎，所以利用三角形的内角和可得‎∠ACB＝‎70‎‎∘‎，利用同弧所对的圆周角相等可得‎∠A＝‎∠D＝‎50‎‎∘‎，又因为‎∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于‎90‎‎∘‎，因此可得‎∠ECD＝‎20‎‎∘‎，利用内角和与对顶角相等可得‎∠AEB等于‎110‎‎∘‎．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ ‎∠A＝‎50‎‎∘‎，‎∠ABC＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠ACB＝‎180‎‎∘‎‎−‎50‎‎∘‎−‎‎60‎‎∘‎＝‎70‎‎∘‎， ∵ BD是圆O的直径， ∴ ‎∠BCD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ACD＝‎20‎‎∘‎， ∴ ‎∠ABD＝‎∠ACD＝‎20‎‎∘‎， ∴ ‎∠AEB＝‎180‎‎∘‎‎−(∠BAE+∠ABE)‎＝‎180‎‎∘‎‎−(‎50‎‎∘‎+‎20‎‎∘‎)‎＝‎110‎‎∘‎．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 二次函数图象与系数的关系 ‎【解析】‎ 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系，综合进行判断即可．‎ ‎【解答】‎ 抛物线开口向下，a<0‎，对称轴在y轴左侧，a、b同号，b<0‎，抛物线与y轴的交点在‎(0, 2)‎上方，c>2‎， 所以，abc>0‎，因此①不正确； 当x＝‎1‎时，y＝a+b+c<0‎， 当x＝‎−1‎时，y＝a−b+c>0‎， ∴ ‎(a+b+c)(a−b+c)<0‎， 即‎(a+c‎)‎‎2‎−b‎2‎<0‎，也就是‎(a+c‎)‎‎2‎<‎b‎2‎，因此③正确； 抛物线顶点纵坐标y>2‎，即‎4ac−‎b‎2‎‎4a‎>2‎，又a<0‎，因此有‎4ac−8a<‎b‎2‎，所以④正确； 对称轴在‎0∼−1‎之间，因此有‎−b‎2a>−1‎，又a<0‎，故有b>2a，而a+b+c<0‎，有a+2a+c<0‎，即‎3a+c<0‎，因此②不正确； 综上所述，正确的结论有：③④，‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 二、填空题（共4小题）‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎【考点】‎ 一元一次不等式的整数解 ‎【解析】‎ 根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可得到不等式的最大整数解．‎ ‎【解答】‎ x+3‎‎2‎‎>x‎， 去分母，得 x+3>2x， 移项及合并同类项，得 ‎3>x， 故原不等式的解集是x<3‎， ∴ 不等式x+3‎‎2‎‎>x的最大整数解是‎2‎，‎ ‎【答案】‎ ‎180‎‎∘‎ ‎【考点】‎ 多边形内角与外角 ‎【解析】‎ 根据正八边形的特征，由多边形内角和定理：‎(n−2)⋅180 (n≥3)‎且n为整数）先求出正八边形的内角和，进一步得到‎2‎个内角的和，根据三角形内角和为‎180‎‎∘‎，可求‎∠3+∠4‎的度数，根据角的和差关系即可得到图中‎∠1+∠2‎的结果．‎ ‎【解答】‎ 如图， ‎(8−2)×‎180‎‎∘‎÷8×2‎ ＝‎6×‎180‎‎∘‎÷8×2‎ ＝‎270‎‎∘‎， ‎∠3+∠4‎＝‎180‎‎∘‎‎−‎‎90‎‎∘‎＝‎90‎‎∘‎， ‎∠1+∠2‎＝‎270‎‎∘‎‎−‎‎90‎‎∘‎＝‎180‎‎∘‎．‎ ‎【答案】‎ ‎2‎‎3‎ ‎【考点】‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 根据图象上点的坐标特征得到y‎1‎‎=‎kx‎1‎，y‎2‎‎=‎kx‎2‎，变形为‎1‎y‎1‎‎=‎x‎1‎k，‎1‎y‎2‎‎=‎x‎2‎k，由‎2‎y‎1‎‎−‎2‎y‎2‎=3‎得到‎1‎y‎1‎‎−‎1‎y‎2‎=‎‎3‎‎2‎，即可得到x‎1‎‎−‎x‎2‎k‎=‎‎3‎‎2‎，由x‎1‎＝x‎2‎‎+1‎，变形为x‎1‎‎−‎x‎2‎＝‎1‎，代入即可得到‎1‎k‎=‎‎3‎‎2‎，从而求得k=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎为反比例函数y=kx(k≠0)‎图象上的两点， ∴ y‎1‎‎=‎kx‎1‎，y‎2‎‎=‎kx‎2‎， ∴ ‎1‎y‎1‎‎=‎x‎1‎k，‎1‎y‎2‎‎=‎x‎2‎k， ∵ ‎2‎y‎1‎‎−‎2‎y‎2‎=3‎， ∴ ‎1‎y‎1‎‎−‎1‎y‎2‎=‎‎3‎‎2‎， ∴ x‎1‎k‎−x‎2‎k=‎‎3‎‎2‎，即x‎1‎‎−‎x‎2‎k‎=‎‎3‎‎2‎， ∵ x‎1‎＝x‎2‎‎+1‎， ∴ x‎1‎‎−‎x‎2‎＝‎1‎， ∴ ‎1‎k‎=‎‎3‎‎2‎， ∴ k=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎【答案】‎ ‎5‎5‎+5‎ ‎【考点】‎ 轴对称——最短路线问题 矩形的性质 等腰直角三角形 ‎【解析】‎ 如图，过点G作GH⊥AD于H．证明‎△AEF≅△GHE(AAS)‎，推出GH＝AE＝‎5‎，过点G作直线l // AD，因为GH＝‎5‎，GH⊥AD，推出点G在直线l上运动，作点D关于直线l的对称点T，连接ET．求出ET，由GE+GD＝EG+GT≥ET，即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 如图，过点G作GH⊥AD于H． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ‎∠A＝‎90‎‎∘‎，AB＝CD＝‎6‎，AD＝BC＝‎10‎， ∴ AE＝ED＝‎5‎， ‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎∵ ‎∠A＝‎∠FEG＝‎∠GEH＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠AEF+∠GEH＝‎90‎‎∘‎，‎∠GEH+∠EGH＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠AEF＝‎∠EGH， ∵ EF＝EG， ∴ ‎△AEF≅△GHE(AAS)‎， ∴ GH＝AE＝‎5‎， 过点G作直线l // AD， ∵ GH＝‎5‎，GH⊥AD， ∴ 点G在直线l上运动， 作点D关于直线l的对称点T，连接ET． 在Rt△EDT中，‎∠DET＝‎90‎‎∘‎DE＝‎5‎，DT＝‎10‎， ∴ ET=DE‎2‎+DT‎2‎=‎5‎‎2‎‎+‎‎10‎‎2‎=5‎‎5‎， ∵ GD＝GT， ∴ GE+GD＝EG+GT≥ET， ∴ GE+GD≥5‎‎5‎， ∴ GE+GD的最小值为‎5‎‎5‎， ‎△DEG周长最小值为‎5‎3‎+5‎．‎ 三、解答题（共11小题）‎ ‎【答案】‎ 原式＝‎4+2−‎3‎−1−2×‎‎3‎‎2‎ ＝‎4+2−‎3‎−1−‎‎3‎ ＝‎5−2‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 实数的运算 负整数指数幂 特殊角的三角函数值 零指数幂 ‎【解析】‎ 直接利用负整数指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ 原式＝‎4+2−‎3‎−1−2×‎‎3‎‎2‎ ＝‎4+2−‎3‎−1−‎‎3‎ ＝‎5−2‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ 原式‎=x+8−2(x+2)‎‎(x+2)(x−2)‎⋅‎‎(x−2‎‎)‎‎2‎x−4‎ ‎=‎−(x−4)‎‎(x+2)(x−2)‎⋅‎‎(x−2‎‎)‎‎2‎x−4‎ ‎=−‎x−2‎x+2‎．‎ ‎【考点】‎ 分式的混合运算 ‎【解析】‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=x+8−2(x+2)‎‎(x+2)(x−2)‎⋅‎‎(x−2‎‎)‎‎2‎x−4‎ ‎=‎−(x−4)‎‎(x+2)(x−2)‎⋅‎‎(x−2‎‎)‎‎2‎x−4‎ ‎=−‎x−2‎x+2‎．‎ ‎【答案】‎ 如图，点E为所作． ‎ ‎【考点】‎ 作图—复杂作图 直角三角形斜边上的中线 ‎【解析】‎ 作AC的垂直平分线得到AC的中点，则利用三角形中位线性质的DE=‎1‎‎2‎BC．‎ ‎【解答】‎ 如图，点E为所作． ‎ ‎【答案】‎ 证明：∵ AB // CD， ∴ ‎∠C＝‎∠B， ∵ CE＝BF， ∴ CE+EF＝FB+EF， 即CF＝BE， 在‎△AEB和‎△DFC中AB=CD‎∠B=∠CEB=CF‎ ‎， ∴ ‎△AEB≅△DFC(SAS)‎， ∴ ‎∠AEB＝‎∠DFC， ∴ AE // DF．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎【考点】‎ 全等三角形的性质与判定 ‎【解析】‎ 根据平行线的性质可得‎∠C＝‎∠B，再根据等式的性质可得CF＝BE，然后利用SAS判定‎△AEB≅△DFC，根据全等三角形对应边相等可得‎∠AEB＝‎∠DFC即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 证明：∵ AB // CD， ∴ ‎∠C＝‎∠B， ∵ CE＝BF， ∴ CE+EF＝FB+EF， 即CF＝BE， 在‎△AEB和‎△DFC中AB=CD‎∠B=∠CEB=CF‎ ‎， ∴ ‎△AEB≅△DFC(SAS)‎， ∴ ‎∠AEB＝‎∠DFC， ∴ AE // DF．‎ ‎【答案】‎ ‎25‎‎,‎1.5h,‎‎1.5h 本次调查的学生有：‎4÷10%‎＝‎40‎（人）， ‎1.5h的有：‎40−4−8−10−3‎＝‎15‎（人）， 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎2400×(37.5%+25%+7.5%)‎‎＝‎1680‎（人）， 答：我校八年级‎2400‎名学生每天在校体育活动时间至少‎1.5h的学生有‎1680‎人． ‎ ‎【考点】‎ 众数 扇形统计图 用样本估计总体 条形统计图 中位数 ‎【解析】‎ ‎（1）根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值，再根据扇形统计图中的数据，可以得到这组数据的众数和中位数； （2）根据‎0.9h所占的百分比和人数，可以得到本次调查的人数，然后即可计算出‎1.5h的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以计算出我校八年级‎2400‎名学生每天在校体育活动时间至少‎1.5h的学生人数．‎ ‎【解答】‎ m%‎‎＝‎1−7.5%−10%−20%−37.5%‎＝‎25%‎， 统计的这组每天在校体育活动时间数据的众数是‎1.5h，中位数是‎1.5h， 故答案为：‎25‎，‎1.5h，‎1.5h；‎ 本次调查的学生有：‎4÷10%‎＝‎40‎（人）， ‎1.5h的有：‎40−4−8−10−3‎＝‎15‎（人）， 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎2400×(37.5%+25%+7.5%)‎‎＝‎1680‎（人）， 答：我校八年级‎2400‎名学生每天在校体育活动时间至少‎1.5h的学生有‎1680‎人． ‎ ‎【答案】‎ 旗杆的高AB为‎15‎米 ‎【考点】‎ 相似三角形的应用 平行投影 ‎【解析】‎ 直接利用相似三角形的判定与性质得出AB＝‎1.5BC，进而得出BC的长，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ 由题意可得：‎∠BCA＝‎∠ECD，‎∠ABC＝‎∠EDC， 故‎△ABC∽△EDC， 则ABDE‎=‎BCDC， 即ABBC‎=‎1.5‎‎1‎=1.5‎， ∴ AB＝‎1.5BC， ∵ GF // AB， ∴ ‎△GFH∽△ABH， ∴ GFFH‎=‎ABBH， ∴ ‎1.6‎‎3.2‎‎=ABBC+1+3.2+15.8‎=‎‎1.5BCBC+20‎， 解得：BC＝‎10‎， 故AB＝‎1.5BC＝‎15‎米．‎ ‎【答案】‎ 由题意可得， y甲＝‎20×0.8x＝‎16x， 当‎0≤x≤500‎时，‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 y乙‎＝‎20×0.9x＝‎18x， 当x>500‎时，y乙＝‎20×0.9×500+20×0.75×(x−500)‎＝‎15x+1500‎， 由上可得，y甲＝‎16x， y乙‎=‎18x‎(0≤x≤500)‎‎15x+1500‎‎(x>500)‎ ‎；‎ 当x＝‎2200‎时， y甲＝‎16×2200‎＝‎35200‎， y乙＝‎15×2200+1500‎＝‎34500‎， ∵ ‎35200>34500‎， ∴ 选择乙家印刷厂更省钱．‎ ‎【考点】‎ 一元一次不等式的实际应用 一次函数的应用 ‎【解析】‎ ‎（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家印刷厂收取印刷费y（元）与x（册）之间的函数关系式； （2）将x＝‎2200‎分别代入（1）中相应的函数解析式中，求出相应的y的值，然后比较大小，即可解答本题．‎ ‎【解答】‎ 由题意可得， y甲＝‎20×0.8x＝‎16x， 当‎0≤x≤500‎时，y乙＝‎20×0.9x＝‎18x， 当x>500‎时，y乙＝‎20×0.9×500+20×0.75×(x−500)‎＝‎15x+1500‎， 由上可得，y甲＝‎16x， y乙‎=‎18x(0≤x≤500)‎‎15x+1500(x>500)‎ ‎；‎ 当x＝‎2200‎时， y甲＝‎16×2200‎＝‎35200‎， y乙＝‎15×2200+1500‎＝‎34500‎， ∵ ‎35200>34500‎， ∴ 选择乙家印刷厂更省钱．‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 共有四个社区，分别是A、B、C、D， ∴ 恰好选择A或B社区的概率是‎2‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 根据题意画图如下： 共有‎16‎种等可能的情况数，其中他们恰好选择同一个社区的有‎4‎种， 则他们恰好选择同一个社区的概率是‎4‎‎16‎‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎【考点】‎ 列表法与树状图法 概率公式 ‎【解析】‎ ‎（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出图表得出所有等情况数和他们恰好选择同一个社区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 共有四个社区，分别是A、B、C、D， ∴ 恰好选择A或B社区的概率是‎2‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎；‎ 根据题意画图如下： 共有‎16‎种等可能的情况数，其中他们恰好选择同一个社区的有‎4‎种， 则他们恰好选择同一个社区的概率是‎4‎‎16‎‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎【答案】‎ 将A(−4, 0)‎，B(−2, 3)‎分别代入y＝mx‎2‎+2mx+n中得m×(−4‎)‎‎2‎+2m×(−4)+n=0‎m×(−2‎)‎‎2‎+2m×(−2)+n=3‎‎ ‎， 解得m=−‎‎3‎‎8‎n=3‎‎ ‎， ∴ 抛物线L‎1‎的解析式为y=−‎3‎‎8‎x‎2‎−‎3‎‎4‎x+3‎， 则：顶点为‎(−1, ‎27‎‎8‎)‎， ∵ 抛物线L‎1‎与抛物线L‎2‎关于y轴对称，顶点也关于y轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同， ∴ 抛物线L‎2‎的顶点为‎(1, ‎27‎‎8‎)‎， 解析式为y=−‎3‎‎8‎(x−1‎)‎‎2‎+‎27‎‎8‎=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+3‎ 故抛物线L‎2‎的解析式为y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+3‎．‎ 如图‎1‎，存在点M，使‎△MNA′‎与‎△ACB′‎相似． 由题意得：A′(4, 0)‎，B′(2, 3)‎，C(2, 0)‎， ∵ 抛物线L‎2‎的对称轴为x＝‎1‎，∴ 设M(1, t)‎， ∵ ‎∠A′NM＝‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△A′MN与‎△AB′C相似，可以分两种情况： ①当‎△AB′C∽△A′MN时， 则tan∠B′AC＝tan∠MA′N=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎， 则NM=‎1‎‎2‎NA′=‎‎3‎‎2‎， 即点M(1, −‎3‎‎2‎)‎， ②当‎△AB′C∽△MA′N时， 同理可得：点M(1, −6)‎； 抛物线顶点为‎(1, −‎3‎‎2‎)‎时，函数 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 L‎3‎的解析式：y=−‎3‎‎8‎(x−1‎)‎‎2‎−‎3‎‎2‎=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎15‎‎8‎， 同理可得：抛物线顶点为‎(1, −6)‎时，函数表达式为：y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎51‎‎8‎， 故：函数L‎3‎的解析式为：y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎15‎‎8‎或y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎51‎‎8‎．‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）将A(−4, 0)‎，B(−2, 3)‎分别代入y＝mx‎2‎+2mx+n即可求解抛物线L‎1‎的解析式，确定抛物线L‎2‎的顶点为‎(1, ‎27‎‎8‎)‎，即可求解； （2）分‎△AB′C∽△A′MN、‎△AB′C∽△MA′N两种情况，分别求解．‎ ‎【解答】‎ 将A(−4, 0)‎，B(−2, 3)‎分别代入y＝mx‎2‎+2mx+n中得m×(−4‎)‎‎2‎+2m×(−4)+n=0‎m×(−2‎)‎‎2‎+2m×(−2)+n=3‎‎ ‎， 解得m=−‎‎3‎‎8‎n=3‎‎ ‎， ∴ 抛物线L‎1‎的解析式为y=−‎3‎‎8‎x‎2‎−‎3‎‎4‎x+3‎， 则：顶点为‎(−1, ‎27‎‎8‎)‎， ∵ 抛物线L‎1‎与抛物线L‎2‎关于y轴对称，顶点也关于y轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项系数相同， ∴ 抛物线L‎2‎的顶点为‎(1, ‎27‎‎8‎)‎， 解析式为y=−‎3‎‎8‎(x−1‎)‎‎2‎+‎27‎‎8‎=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+3‎ 故抛物线L‎2‎的解析式为y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+3‎．‎ 如图‎1‎，存在点M，使‎△MNA′‎与‎△ACB′‎相似． 由题意得：A′(4, 0)‎，B′(2, 3)‎，C(2, 0)‎， ∵ 抛物线L‎2‎的对称轴为x＝‎1‎，∴ 设M(1, t)‎， ∵ ‎∠A′NM＝‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△A′MN与‎△AB′C相似，可以分两种情况： ①当‎△AB′C∽△A′MN时， 则tan∠B′AC＝tan∠MA′N=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎， 则NM=‎1‎‎2‎NA′=‎‎3‎‎2‎， 即点M(1, −‎3‎‎2‎)‎， ②当‎△AB′C∽△MA′N时， 同理可得：点M(1, −6)‎； 抛物线顶点为‎(1, −‎3‎‎2‎)‎时，函数L‎3‎的解析式：y=−‎3‎‎8‎(x−1‎)‎‎2‎−‎3‎‎2‎=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎15‎‎8‎， 同理可得：抛物线顶点为‎(1, −6)‎时，函数表达式为：y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎51‎‎8‎， 故：函数L‎3‎的解析式为：y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎15‎‎8‎或y=−‎3‎‎8‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x−‎‎51‎‎8‎．‎ ‎【答案】‎ ‎4‎‎3‎‎3‎ 如图②中，设‎△ABC的外接圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥BC． ∵ ‎∠BOC＝‎2∠BAC＝‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎60‎‎∘‎‎，OA＝OC， ∴ ‎△OBC是等边三角形， ∴ OA＝OB＝OC＝BC＝r， ∵ OH⊥BC， ∴ OH＝OB⋅sin‎60‎‎∘‎=‎3‎‎2‎r， ∵ OA+OH≥AD， ∴ r+‎3‎‎2‎r≥6‎， ∴ r≥12(2−‎3‎)‎， ∴ BC的最小值为‎12(2−‎3‎)‎， ∴ ‎△ABC的面积的最小值为‎1‎‎2‎‎×12(2−‎3‎)×6‎＝‎72−36‎‎3‎．‎ 延长CD交BE的延长线于G，过点F作FQ⊥BG于Q． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC＝‎12+8‎‎3‎，‎∠A＝‎90‎‎∘‎， ∵ ‎∠AEB＝‎30‎‎∘‎， ∴ AE=‎3‎AB＝‎12+6‎‎3‎， ∴ DE＝AD−AE＝‎2‎‎3‎， ∵ ‎∠GED＝‎30‎‎∘‎，‎∠EDG＝‎90‎‎∘‎， ∴ DG＝DE⋅tan‎30‎‎∘‎＝‎2‎， ∵ DF:CF=‎3‎:2‎，CD＝AB＝‎6+4‎‎3‎， ∴ DF＝‎6‎，CF＝‎4‎‎3‎， ∴ FG＝‎2+6‎＝‎8‎， ∵ ‎∠G＝‎60‎‎∘‎，‎∠FQG＝‎90‎‎∘‎， ∴ FQ＝FG×sin‎60‎‎∘‎＝‎4‎3‎=CF， ∴ 将‎△FQM绕点F顺时针旋转‎150‎‎∘‎，得到‎△FCH，此时B，C，H共线，‎∠NFH＝‎60‎‎∘‎． ∵ S四边形BMFN＝S四边形BCFQ‎−S‎△FQM−‎S‎△FNC＝S四边形BCFQ‎−‎S‎△FNH， ∴ 当‎△FNH的面积最小时，四边形BMFN的面积最大，即只要求出NH的最小值， 设点O是‎△FNH的外接圆的圆心，过点O作OR⊥NH于R．连接OF，ON，OH．设OF＝ON＝OH＝r， ∵ ‎∠NOH＝‎2∠NFH＝‎120‎‎∘‎，OR⊥NH， ∴ ‎∠NOR＝‎∠HOR＝‎60‎‎∘‎， ∴ OR＝ON⋅cos‎60‎‎∘‎=‎1‎‎2‎r， ∵ OF+OR≥CF， ∴ r+‎1‎‎2‎r≥4‎‎3‎， ∴ r≥‎‎8‎‎3‎‎3‎， ∴ NH的最小值‎=‎3‎×‎8‎‎3‎‎3‎=8‎， ∴ 四边形BMFN的面积的最大值‎=‎1‎‎2‎×(12+8‎3‎)×(8+4‎3‎)−‎1‎‎2‎×4‎3‎×4−‎1‎‎2‎×8×4‎3‎=72+32‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 圆的综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）如图①中，设点O是‎△ABC的内心，连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于E．解直角三角形求出OA即可． （2）如图②中，设‎△ABC的外接圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥BC．由OA+OH≥AD，可得r+‎3‎‎2‎r≥6‎，推出r≥12(2−‎3‎)‎，可得BC的最小值为‎12(2−‎3‎)‎，由此即可解决问题． （3）延长CD交BE的延长线于G，过点F作FQ⊥BG于Q．通过计算证明FQ＝FC，将‎△FQM绕点F顺时针旋转‎150‎‎∘‎，得到‎△FCH，此时B，C，H共线，‎∠NFH＝‎60‎‎∘‎，由S四边形BMFN＝S四边形BCFQ‎−S‎△FQM−‎S‎△FNC＝S四边形BCFQ‎−‎S‎△FNH，推出当‎△FNH的面积最小时，四边形BMFN的面积最大，即只要求出NH的最小值即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 如图①中，设点O是‎△ABC的内心，连接OA，OC，过点O作OE⊥AC于E． ∵ 点O是‎△ABC的内心， ∴ OA平分‎∠BAC，OC平分‎∠ACB， ∵ ‎△ABC是等边三角形， ∴ AB＝AC＝BC＝‎4‎，‎∠BAC＝‎∠ACB＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠OAC＝‎∠OCB＝‎30‎‎∘‎， ∴ OA＝OC， ∵ OE⊥AC， ∴ AE＝EC＝‎2‎， ∴ OA=AEcos30‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎． 故答案为‎4‎‎3‎‎3‎．‎ 如图②中，设‎△ABC的外接圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，过点O作OH⊥BC． ∵ ‎∠BOC＝‎2∠BAC＝‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页 ‎60‎‎∘‎‎，OA＝OC， ∴ ‎△OBC是等边三角形， ∴ OA＝OB＝OC＝BC＝r， ∵ OH⊥BC， ∴ OH＝OB⋅sin‎60‎‎∘‎=‎3‎‎2‎r， ∵ OA+OH≥AD， ∴ r+‎3‎‎2‎r≥6‎， ∴ r≥12(2−‎3‎)‎， ∴ BC的最小值为‎12(2−‎3‎)‎， ∴ ‎△ABC的面积的最小值为‎1‎‎2‎‎×12(2−‎3‎)×6‎＝‎72−36‎‎3‎．‎ 延长CD交BE的延长线于G，过点F作FQ⊥BG于Q． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AD＝BC＝‎12+8‎‎3‎，‎∠A＝‎90‎‎∘‎， ∵ ‎∠AEB＝‎30‎‎∘‎， ∴ AE=‎3‎AB＝‎12+6‎‎3‎， ∴ DE＝AD−AE＝‎2‎‎3‎， ∵ ‎∠GED＝‎30‎‎∘‎，‎∠EDG＝‎90‎‎∘‎， ∴ DG＝DE⋅tan‎30‎‎∘‎＝‎2‎， ∵ DF:CF=‎3‎:2‎，CD＝AB＝‎6+4‎‎3‎， ∴ DF＝‎6‎，CF＝‎4‎‎3‎， ∴ FG＝‎2+6‎＝‎8‎， ∵ ‎∠G＝‎60‎‎∘‎，‎∠FQG＝‎90‎‎∘‎， ∴ FQ＝FG×sin‎60‎‎∘‎＝‎4‎3‎=CF， ∴ 将‎△FQM绕点F顺时针旋转‎150‎‎∘‎，得到‎△FCH，此时B，C，H共线，‎∠NFH＝‎60‎‎∘‎． ∵ S四边形BMFN＝S四边形BCFQ‎−S‎△FQM−‎S‎△FNC＝S四边形BCFQ‎−‎S‎△FNH， ∴ 当‎△FNH的面积最小时，四边形BMFN的面积最大，即只要求出NH的最小值， 设点O是‎△FNH的外接圆的圆心，过点O作OR⊥NH于R．连接OF，ON，OH．设OF＝ON＝OH＝r， ∵ ‎∠NOH＝‎2∠NFH＝‎120‎‎∘‎，OR⊥NH， ∴ ‎∠NOR＝‎∠HOR＝‎60‎‎∘‎， ∴ OR＝ON⋅cos‎60‎‎∘‎=‎1‎‎2‎r， ∵ OF+OR≥CF， ∴ r+‎1‎‎2‎r≥4‎‎3‎， ∴ r≥‎‎8‎‎3‎‎3‎， ∴ NH的最小值‎=‎3‎×‎8‎‎3‎‎3‎=8‎， ∴ 四边形BMFN的面积的最大值‎=‎1‎‎2‎×(12+8‎3‎)×(8+4‎3‎)−‎1‎‎2‎×4‎3‎×4−‎1‎‎2‎×8×4‎3‎=72+32‎‎3‎．‎ 第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页