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- 2021-04-16 发布
2017-2018学年度上学期期末考试高三试题
数学（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线的两条渐近线方程为和，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C. D．
5.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C. D．
6.某校初三年级有名学生，随机抽查了名学生，测试分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列结论正确的是（ ）
A．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次
B．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次
C.该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人
D．该校初三年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约为人.
7.若，均为锐角且，，则（ ）
A． B． C. D．
8.甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试，甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后，甲说：我们四个人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是（ ）
A．甲没过关 B．乙没过关 C.丙过关 D．丁过关
9.一个正六棱柱的主视图（由两个边长等于的正方形组成）如图所示，则该六棱柱的侧视图的面积为（ ）
A． B． C. D．
10.已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列，设，则数列的前项和为（ ）
A． B． C. D．
11.“”是函数满足：对任意的，都有”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
12.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，，，，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则 ．
14.已知数列的前项和为，且，则 ．
15.若，，点在圆的外部，则的范围是 ．
16.直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，，设函数
（1）求函数的单调增区间；
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围.
18. 某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）能否由的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关？
（附：
当时，有的把握说事件与有关；当，认为事件与是无关的）
（2）已知既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有名男同学，名女同学.现从这名男同学和名女同学中选人参加综合素质大赛，求被选中的男生人数的分布列和期望.
19. 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值.
20. 已知椭圆（），长轴长为，是左焦点，是椭圆上一点且在第二象限，轴，是右顶点，是上顶点，且.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若是椭圆上任意一点，过原点作圆：的两条切线，分别交椭圆于，，求证：.
21. 已知函数，为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，研究函数零点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，，曲线的参数方程为（为参数）
（1）求曲线的直角坐标方程及曲线的极坐标方程；
（2）当（）时在曲线上对应的点为，若的面积为，求点的极坐标，并判断是否在曲线上（其中点为半圆的圆心）
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，且不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式解集非空，求实数的取值范围.
2017-2018学年度上学期期末考试高三试题
数学（理）参考答案
一、选择题
1-5:BDAAC 6-10:CBBCD 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
令
则，
所以函数单调递增区间为，
（2）由可知
（当且仅当时，取等号）
所以
综上的取值范围为
18.解：（1）由调查数据可知，
没有的把握认为参加书法社团和参加演讲社团有关.
（2）被选中的男生人数的取值为，，，
则
分布列为
期望
19.解：（1）在直三棱柱中
又
平面，平面，
∴平面
又∵平面
∴平面平面.
（2）由（1）可知
以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为
轴正方向，建立坐标系.设
，，，，，，，
直线的方向向量，平面的法向量
可知∴
，，
设平面的法向量
∴∴
设平面的法向量
∴∴
记二面角的平面角为
∴
二面角的平面角的正弦值为
20.解：（1）由题意可知
∴
椭圆标准方程为
（2）当直线，斜率存在时（）并记作，
设过原点和圆相切的直线方程为
所以有整理得：
可知，是方程的两个根
∴
∴
当、中有一条直线的斜率不存在时，圆和轴相切，此时，可得，仍有
综上可知，
21.解：（1）
①当时，
，，函数递减；
时，，函数递增；
②当时，，
，，，函数递增；
，，，函数递减；
当，，，函数递增；
③当时，，函数在递增；
④当时，，
，，，函数递增；
，，，函数递减；22.
，，，函数递增.
（2）由（1）知，当时，
所以函数在内无零点
而
所以函数在内存在一个零点.
综上可知：时，函数恰有个零点.
22.解：（1）曲线的普通方程为（）
曲线的极坐标方程为：，（）
（2）设的极坐标为，（）
∴
所以点的极坐标为，不符合方程，
所以点不在曲线上.
23.解：（1）由，得
∴得
（2）由题意可知解集非空
∵
所以
所以或
实数的取值范围为