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- 2021-04-16 发布
专题40 快速填解空题的解法
一、题型特点
近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．
二、解题思路
做选填题的步骤为：
1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．
2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．
3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．
三、典例分析
(一)直接演绎法
所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．
例1(2015课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________
【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)，其中a>0，
由4－a＝，解得a＝，
所以该圆的标准方程为＋y2＝
【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．
练习1．若函数满足，且当时，则______．
【答案】1009
【解析】∵函数满足，
∴，
∵当时，．
∴当时，，，
∴．
故答案为1009．
练习2．已知，若，那么实数的值为__．
【答案】2
【解析】，
若，可得，
（4），解得．
故答案为：2．
练习3．给出下列命题：
(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．其中正确命题的序号是___．
【答案】_(1)(3)(4)
练习4．函数的值域是__________。
【答案】[0，]
【解析】∵﹣1≤cosx≤1，要使函数有意义则sin（cosx）≥0，则0≤cosx≤1，
此时0≤sin（cosx）≤sin1，
则0，
即函数的值域为[0，]，
故答案为：[0，]．
(二) 特例(值)法
所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案．
例2 (2015课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以定义域关于原点对称，
所以定义域为R，
设h(x)＝x，g(x)＝ln(x＋)，又h(x)为奇函数，
所以g(x)也为奇函数，取x＝0，则g(0)＝0，解得a＝1.
【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特例(值)法(取得越简单越好)进行探究，从而清晰、快捷地得到正确答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律．
练习1．设，则_____，（的值为______．
【答案】720 1
【解析】利用二项式系数公式，，故
故（=
=
练习2．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：
①f (x＋π)＝f (x)；②f (x)＝f (x)；③f (0)＝1；④；⑤.
当f (x)＝tanx时，正确结论的序号为________．
【答案】①④
【解析】由于f(x)＝tanx的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故②不正确；f
(0)＝tan0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tanx的图象可知，函数在区间上有，在区间上有，故⑤不正确．
故答案为①④
【点睛】本题主要考查了正切函数y=tanx的图像和性质，熟练掌握正切函数的相关知识点是解题的关键；还有就是凹凸函数，属于基础题.
凸函数；凹函数
(三) 极限化和特殊为位置法
在一些选择填空题中，有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究，分析它们的极限情况或者极端位置，并进行计算，以此来判断结果．这种通过动态变化，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法．
例3(2015课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，
∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．
【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能迅速得到答案．
练习1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是______
；该几何体外接球的表面积为；
若G为EC中点，则平面AEF；
的最小值为3．
【答案】
【解析】以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
可得0，，0，，1，，1，，1，，0，，
即有1，，1，，由，可得，故正确；
由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，
可得半径为，即有该几何体外接球的表面积为，故正确；
若G为EC中点，可得1，，0，， 0，，1，，
设平面AEF的法向量为y，，可得，且，可设，可得一个法向量为，
由，可得则平面AEF，故正确；
设t，，，
当时，取得最小值，故错误．
故答案为：．
【点睛】本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
练习2．如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．
【答案】
(四)数形结合法
所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．
例4(2015课标全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为______
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1，3)处，取得最大值3.
【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．
练习1．已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则=_________。
【答案】3
【解析】如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；
∴；∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；
∴DEOE，AB＝2DE；∴AB＝3OE；∴．
故答案为：3．
练习2．已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则
的最小值为______
【答案】
【解析】如图，
由，知在上的投影为2，即，，
对任意实数x都有，．
由摄影定理可得，．
设，取，可得P在直线BC上，
线段OP的最小值为O到直线BC的距离，当时，．
故答案为：．
(五) 构造法
所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法．
例5如图，已知球O的球面上有四个点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
若，则，则当时，，此时，与①矛盾；
若，则，则当时，此时，与①矛盾.
故，故.下证，若，则，于是，
由得，所以中至少有两项相同，矛盾.
所以，所以，
所以正确的序号是①③④.