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- 2021-04-16 发布
2019学年度第二学期第四次统考
高二文数
（总分：150分 时间：120分钟）
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题，共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的)
1．已知全集，集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学家算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣 （ ）
A． 104人 B．108人 C．112人 D．120人
4．已知，则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
5．设命题：，命题：，则是成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．要得到函数的图象，只需将函数舒中高二统考文数 第2页 (共4页)
的图象 （ ）
4
A. 向左平移 B. 向右平移 C. 向左平移 D. 向右平移
8．下列推理正确的是 （ ）
A．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为，所以
C．若均为正实数，则
D．若，则
9．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体
体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是 （ ）
A． B． C． D．
11．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是定义在实数集上的奇函数，若时，，则不等式的解集为 （ ）
A． B．，或
C．，或 D．，或
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13．设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为 ．
14．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则= .
4
15．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则 ．
16．在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为 ．
三．解答题(本大题共6小题,共70分)
17．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在锐角中，内角所对的边分别是，且，求的最大面积.
18．（本小题满分12分）
按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别
PM2.5浓度（微克/立方米）
频数（天）
第一组
32
第二组
64
第三组
16
第四组
115以上
8
（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（2）在（Ⅰ）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，（为实数）.
（1）求证：不论取何值时，恒有；
（2）当时，求多面体的体积.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
4
（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于两点．点为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1） 若，求曲线在点处的切线方程；
（2） （2）若，求的单调区间；
（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为 （为参数），曲线的极坐标方程为 ，直线 与曲线交于两点，点，
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数，其中，
（1）当时，求不等式的解集；
舒中高二统考文数 第4页 (共4页)
（2）若不等式的解集为，求实数的值.
4