2019届二轮复习（文）选修4-5第2节不等式的证明课件（26张）（全国通用） 26页

第 2 节　不等式的证明 最新考纲　 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法 . 1. 基本不等式 知 识 梳 理 2 ab a ＝ b a ＝ b a ＝ b ＝ c 2. 不等式的证明 方法 a > b (2) 综合法与分析法 ① 综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列 的 、 而 得出命题成立 . 综合法又叫顺推证法或由因导果法 . ② 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立 的 ， 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 ( 定义、公理或已证明的定理、性质等 ) ，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即 “ 执果索因 ” 的证明方法 . 推理 论证 充分条件 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 比较法最终要判断式子的符号得出结论 .( 　　 ) (2) 综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论 .( 　　 ) (3) 分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实 .( 　　 ) (4) 使用反证法时， “ 反设 ” 不能作为推理的条件应用 .( 　　 ) 答案 　 (1)× 　 (2)√ 　 (3)× 　 (4)× 诊 断 自 测 由 a > b >1 得 ab >1 ， a － b >0 ， 答案 　 A 3. ( 选修 4 － 5P23 习题 2.1T1 改编 ) 已知 a ≥ b >0 ， M ＝ 2 a 3 － b 3 ， N ＝ 2 ab 2 － a 2 b ，则 M ， N 的大小关系为 ________. 解析 　 2 a 3 － b 3 － (2 ab 2 － a 2 b ) ＝ 2 a ( a 2 － b 2 ) ＋ b ( a 2 － b 2 ) ＝ ( a 2 － b 2 )(2 a ＋ b ) ＝ ( a － b )( a ＋ b )(2 a ＋ b ). 因为 a ≥ b >0 ，所以 a － b ≥ 0 ， a ＋ b >0 ， 2 a ＋ b >0 ， 从而 ( a － b )( a ＋ b )(2 a ＋ b ) ≥ 0 ，故 2 a 3 － b 3 ≥ 2 ab 2 － a 2 b . 答案 　 M ≥ N 解析 　由题意得， a ＋ b ＝ 1 ， a >0 ， b >0 ， 答案 　 4 5. 已知 x >0 ， y >0 ，证明： (1 ＋ x ＋ y 2 )(1 ＋ x 2 ＋ y ) ≥ 9 xy . 证明 　 因为 x >0 ， y >0 ， 考点一　比较法证明不等式 【例 1 － 1 】 (2017· 江苏卷 ) 已知 a ， b ， c ， d 为实数，且 a 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， c 2 ＋ d 2 ＝ 16. 试证明： ac ＋ bd ≤ 8. 证明 　 ∵ ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) － ( ac ＋ bd ) 2 ＝ a 2 c 2 ＋ a 2 d 2 ＋ b 2 c 2 ＋ b 2 d 2 － ( a 2 c 2 ＋ b 2 d 2 ＋ 2 acbd ) ＝ b 2 c 2 ＋ a 2 d 2 － 2 acbd ＝ ( bc － ad ) 2 ≥ 0 ， ∴ ( a 2 ＋ b 2 )( c 2 ＋ d 2 ) ≥ ( ac ＋ bd ) 2 ， 又 a 2 ＋ b 2 ＝ 4 ， c 2 ＋ d 2 ＝ 16. 因此 ( ac ＋ bd ) 2 ≤ 64 ，从而 ac ＋ bd ≤ 8. 规律方法　 1. 作差 ( 商 ) 证明不等式，关键是对差 ( 商 ) 式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号 . 2. 在例 1 － 2 证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明 a > b 转化为证明 >1( b >0). 提醒　 在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号 . 考点二　综合法证明不等式 【例 2 － 1 】 (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知实数 a >0 ， b >0 ，且 a 3 ＋ b 3 ＝ 2. 证明 ： (1)( a ＋ b )( a 5 ＋ b 5 ) ≥ 4 ； ( 2) a ＋ b ≤ 2. 证明 　 (1) ∵ a >0 ， b >0 ，且 a 3 ＋ b 3 ＝ 2. 则 ( a ＋ b )( a 5 ＋ b 5 ) ＝ a 6 ＋ ab 5 ＋ a 5 b ＋ b 6 ＝ ( a 3 ＋ b 3 ) 2 － 2 a 3 b 3 ＋ ab ( a 4 ＋ b 4 ) ＝ 4 ＋ ab ( a 4 － 2 a 2 b 2 ＋ b 4 ) ＝ 4 ＋ ab ( a 2 － b 2 ) 2 ≥ 4. ( 2) 因为 ( a ＋ b ) 3 ＝ a 3 ＋ 3 a 2 b ＋ 3 ab 2 ＋ b 3 ＝ 2 ＋ 3 ab ( a ＋ b ) 所以 f ( x )<2 的解集 M ＝ { x | － 1< x <1}. (2) 证明 　由 (1) 知，当 a ， b ∈ M 时，－ 1< a <1 ，－ 1< b <1 ， 从而 ( a ＋ b ) 2 － (1 ＋ ab ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － a 2 b 2 － 1 ＝ ( a 2 － 1)(1 － b 2 )<0 ， 所以 ( a ＋ b ) 2 <(1 ＋ ab ) 2 ，因此 | a ＋ b |<|1 ＋ ab |. 规律方法 　 1. 综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系 . 合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键 . 2. 在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的 . 在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件 . (1) 解　 当 x < － 1 时， f ( x ) ＝－ 2( x ＋ 1) － ( x － 2) ＝－ 3 x >3 ； 当－ 1 ≤ x ≤ 2 时， f ( x ) ＝ 2( x ＋ 1) － ( x － 2) ＝ x ＋ 4 ， 此时， 3 ≤ f ( x ) ≤ 6 ； 当 x >2 时， f ( x ) ＝ 2( x ＋ 1) ＋ ( x － 2) ＝ 3 x >6. 综上可知， f ( x ) 的最小值 m ＝ 3. (2) 证明　 a ， b ， c 均大于 0 ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 3. 考点三　分析法证明不等式 证明　 由 a > b > c 且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，知 a >0 ， c <0. 只需证 b 2 － ac <3 a 2 . ∵ a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，只需证 b 2 ＋ a ( a ＋ b )<3 a 2 ， 只需证 2 a 2 － ab － b 2 >0 ， 只需证 ( a － b )(2 a ＋ b )>0 ， 只需证 ( a － b )( a － c )>0. ∵ a > b > c ， ∴ a － b >0 ， a － c >0 ， ∴ ( a － b )( a － c )>0 显然成立， 故原不等式成立 . (1) 解　 依题意，原不等式等价于 | x － 1| ＋ | x ＋ 3| ≥ 8. 当 x < － 3 时，则－ 2 x － 2 ≥ 8 ，解得 x ≤ － 5. 当－ 3 ≤ x ≤ 1 时，则 4 ≥ 8 不成立，不等式解集为 ∅ . 当 x >1 时，则 2 x ＋ 2 ≥ 8 ，解得 x ≥ 3. 所以不等式 f ( x ) ＋ f ( x ＋ 4) ≥ 8 的解集为 { x | x ≥ 3 或 x ≤ － 5}. 只需证 | ab － 1|>| b － a | ，只需证 ( ab － 1) 2 >( b － a ) 2 . ∵ | a |<1 ， | b |<1 ，知 a 2 <1 ， b 2 <1 ， ∴ ( ab － 1) 2 － ( b － a ) 2 ＝ a 2 b 2 － a 2 － b 2 ＋ 1 ＝ ( a 2 － 1)( b 2 － 1)>0. 故 ( ab － 1) 2 >( b － a ) 2 成立 . 从而原不等式成立 .