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- 2021-04-16 发布
2018 届【B 来 B 源：全 B 品 B 高 B 考 B 网 B】高三一轮特色专题训练
一、选择题
1. 点 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在双曲线上,则 的内切圆
半径 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
2.已知抛物线 ： 和动直线 ： （ , 是参变量,且
, ）相交于 , 两点,直角坐标系原点为 ,记直线 ,
的斜率分别为 , ,若 恒成立,则当 变化时直线 恒经过的定
1 2F F、
2
2 13
yx − = P 1 2PF F∆
r
( )0, 3 ( )0,2 ( )0, 2 ( )0,1
C 2 2 ( 0)y px p= > l y kx b= + k b
0k ≠ 0b ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y O OA
OB OAk OBk 3OA OBk k⋅ = k l
点为
A. B. C. D.
【答案】D
【 解 析 】 由 可 得 , 则 ,
, 所 以 , 又
即 , 所 以 代 入 整 理 可 得 , 直 线 方 程 可 化 为
,故选 D.
3. 设 是椭圆 长轴的两个端点,若 上存在点 满足 ,则
的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
( )3 ,0p− ( )2 3 ,0p− 3 ,03
p −
2 3 ,03 p
−
2 2{ y px
y kx b
=
= +
( )2 2 22 0k x p kb x b− − + = 1 2 2
2 2p bkx x k
−+ =
2
1 2 2
bx x k
= ( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2pby y kx b kx b k x x bk x x b k
= + + = + + + =
3OA OBk k⋅ = 1 2 1 23 0y y x x− = 2
3
pb k=
2 3
3y k x p
= +
,A B
2 2
: 14
x yC k
+ = C P 120APB∠ = k
[ )40 12 +3
∞ ， ， [ )20 +3
∞ ， 6，
[ )20 12 +3
∞ ， ， [ )40 +3
∞ ， 6，
4 ．抛物线 的焦点为 , 准线为 , 是抛物线上的两个动点, 且满足
．设线段 的中点 在 上的投影为 ,则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过 作 , 为垂足；过 作 , 为垂足；由抛物线的定义知：
, ,因为 是 的中点,所以 是梯形
的中位线,
所以
由 余 弦 定 理 ： =
所以,
2 2 ( 0)y px p= > F l ,A B
3
2π=∠AFB AB M l N | |
| |
MN
AB
3
2
3
3
3
4
3
A AG l⊥ G B BE l⊥ E
,GA AF BE BF= = / / / /MN AG BE M AB MN ABEG
( ) ( )1 1| | | | | | | | | |2 2MN AG BE AF BF= + = +
2 2 2| | | | | | 2 | | | | cos 3AB AF BF AF BF
π= + − ⋅
2 2AF BF AF BF+ + ⋅
( )2
2
2 2
1
| | 4
| |
AF BFMN
AB AF BF AF BF
+ = + + 2 2
1 14
AF BF
AF BF AF BF
⋅= + + +
,当且仅当 时等号成立．所以,
,故选 C．
5．已知直线 和直线 ,抛物线 上一动点 到直线 和直
线 的距离之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】抛物线 的焦点坐标为 F（1,0）,准线方程是 ,根据抛物线定义,抛物线
上一动点 到直线 和直线 的距离之和可以看成抛物线 上一动点 到
焦 点 和 直 线 的 距 离 之 和 , 其 最 小 值 为 焦 点 F 到 直 线 的 距 离 ,
.故选 A.
6．设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°,则 m
的取值范围是
1 1 1 1 11 14 4 2 1 31AF BF
BF AF
= + ≤ + = + + +
=AF BF
| | 3
| | 3
MN
AB
≤
1 : 4 3 6 0l x y− + = 2 : 1l x = − 2 4y x= P 1l
2l
11
5
37
16
2 4y x= 1x = −
2 4y x= P 1l 2l 2 4y x= P
2l 1 : 4 3 6 0l x y− + =
( )22
4 1 6 2
4 3
d
× +=
+ −
2 2
13
x y
m
+ =
A. B.
C. D.
【答案】A
7. 抛 物 线 的 焦 点 为 , 设 , 是 抛 物 线 上 的 两 个 动 点 ,
,则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线定义得 所以由 得
,因此
,所以 ,选 D.
8. 设 P 是椭圆 上一点,M,N 分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点,
则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为
] [( )0,1 9,∪ +∞ ] [( )0, 3 9,∪ +∞
] [( )0,1 4,∪ +∞ ] [( )0, 3 4,∪ +∞
2 8y x= F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2
2 34 3x x AB+ + = AFB∠
3
π 3
4
π 5
6
π 2
3
π
1 22, 2,AF x BF x= + = + 1 2
2 34 3x x AB+ + =
2 3
3AF BF AB+ =
2 2
2 2 2
1 1 3| || | | | 4 4 2cos 2 2
AF BF AF BFAF BF AB
AFB AF BF AF BF
+ − ⋅+ −
∠ = =⋅ ⋅
1 32 14 2
2 2
AF BF AF BF
AF BF
× ⋅ − ⋅
≥ = −⋅
2π0 3AFB< ∠ ≤
2 2
125 9
x y+ =
A. 9,12 B. 8,11 C. 8,12 D. 10,12
【答案】C
二、填空题
9. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆上任一点,点 的坐标为 ,
则 的最大值为________．
【答案】15
【解析】∵椭圆 中,a=5,b=4∴ ,得焦点为 ．
根据椭圆的定义,得
,当且仅当 P 在 的延长线上时等号成立,此时 的最大
值为 10+5=15．
10. 已知抛物线 的焦点为 的顶点都在抛物线上,且 是 的重心,则
______________．
【答案】0
【 解 析 】 不 妨 设 , 由 得
2F
2 2
125 16
x y+ = P M (6,4)
1PM PF+
2 2
125 16
x y+ = 3c = ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F−
( ) ( )1 2 22 10PM PF PM a PF PM PF+ = + − = + −
2 2PM PF MF− ≤ 2MF 1PM PF+
,F ABC∆ F ABC∆
1 1 1
AB AC BCK K K
+ + =
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y
2
1 1
2
2 2
4{ ,
4
y x
y x
=
=
1F
2 4y x=
, 同理 又 F 为重心所
以 ,所以
, 0.
11. 已知圆 ,抛物线 ,设直线 与抛物线 相交于
、 两点,与圆 相切于线段 的中点,如果这样的直线 恰有 4 条,则 的取值范围是
____________．
【答案】
【 解 析 】 设 直 线 方 程 , 与 抛 物 线 方 程 联 立 得
中点
当 时,显然有两条直线满足题意,因此 时,还有两条直线满足题意,即
12. 已知 、 分别为双曲线 （ , ）的左、右焦点,点 为双
曲线右支上一点, 为 的内心,满足 ,若该双曲线的
离心率为3,则 __________（注： 、 、 分别为 、 、
的面积）．
【答案】
1 2
1 2 1 2
4
AB
y y kx x y y
− = =− +
1 2 1
4 AB
y y
k
+ = 1 3 2 31 1, ,4 4AC BC
y y y y
k k
+ += =
1 2 3 0y y y+ + =
1 2 3 0y y y+ + = 1 1 1
AB AC BCK K K
+ + =
2
2 4C y x=： l 2C
A B 1C AB l r
( )2,4
x ty m= +
( )2 24 4 0 16 0y ty m t m− − = ∴∆ = + >
( )2 2 22 ,2 , 1 3 2 3 0MC lM t m t k k m t t+ = − ∴ = − ∴ − >
0t = 0t ≠
( )2
2
5 2 1 2,4
1
mr t
t
−= = + ∈
+
2F
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > P
M 1 2PF F∆
1 2 1 2MPF MPF MF FS S Sλ∆ ∆ ∆= +
λ =
1MPFS∆ 2MPFS∆ 1 2MF FS∆ 1MPF∆ 2MPF∆
1 2MF F∆
1
3
( ) ( )2 2 2
1 : 5 0C x y r r− + = ＞
1F
三、解答题
13. 已知椭圆方程 为： , 椭圆的右焦点为 ,离心率为 ,
直线 ： 与椭圆 相交于 、 两点,且
（1）椭圆的方程及求 的面积；【来.源：全,品…中&高*考*网】
（2）在椭圆上是否存在一点 ,使 为平行四边形,若存在,求出 的取值范围,若不
存在说明理由.
消去 化简得, ,
, 得
,
.
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > ( )1,0 1
2e =
l y kx m= + C A B 3
4OA OBk k⋅ = −
AOB∆
P OAPB OP
y ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= + 0> 2 24 3 0k m− + >
( )( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + +
2 2 2
2 2
2 2 2
4 12 8 3 12
3 4 3 4 3 4
m km m kk km mk k k
− − = + − + = + + +
, ,即
即 ,
= .
O 到直线 的距离
,
.
（2）若存在平行四边形 OAPB 使 在椭圆上,则 ,设 ,
则 , ,由于 在椭圆上,所以 ,从
而化简得
化简得 ①, 由 ,知 ②
联立方程①②知 ,故不存在 在椭圆上的平行四边形.
14．已知椭圆 经过 ,离心率为 .【来.源：全,品…中&高*考*网】
3
4OA OBK K⋅ = − 1 2
1 2
3
4
y y
x x
−= 1 2 1 2
3
4y y x x
−=
2 2 2
2 2
3 12 3 4 12
3 4 4 3 4
m k m
k k
− − −∴ =+ +
2 22 4 3m k− = ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
22 2
1 2 1 2 22
48 4 3
AB 1 4 1
3 4
k m
k x x x x k
k
− + = + + − = + +
( )
( )
( )2 22
2 22
48 1 24 13 4
2 3 43 4
k kk
kk
+ ++ = ++
y kx m= +
2
d
1
m
k
=
+
( ) ( )2 22
2 2 22
24 1 24 11 1 1
2 2 3 4 2 1 3 41AOB
k km mS d AB k k kk
+ +
∴ = = =+ + ++
2
2
1 3 4 24 32 2 3 4
k
k
+= =+
P OP OA OB= + ( )0 0P x y，
0 1 2 2
8
3 4
kmx x x k
= + = − + 0 1 2 2
6
3 4
my y y k
= + = + P
2 2
0 0 14 3
x y+ =
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
16 12 1
3 4 3 4
k m m
k k
+ =
+ +
2 24 3 4m k= + 3
4OA OBK K⋅ = − 2 22 4 3m k− =
0m = P
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 31, 2
1
2
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点 作直线交椭圆于 两点,求四边
形 面积的最大值（ 为坐标原点）.
（ 2 ） 设 直 线 的 方 程 为 , 与 椭 圆 方 程 联 立 得 ：
.
,其中 .
,其中 .
时, 单调递增, （当 时取等号）.
15．已知动圆 经过点 ,并且与圆 相切.
E
A F、 F ,C D
OCAD O
CD 1x ky= +
2 2
14 3
x y+ =
( )2 23 4 6 9 0k y ky+ + − =
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
ky y y yk k
∴ + = − =+ +
1 2 1 2
1 12 22 2OCA ODAOCADS S S y y y y∆ ∆∴ = + = × × + × × = −四边形
( ) 2
2
1 2 1 2 2
12 14 3 4
ky y y y k
+= + − = +
2
12
3 1
t
t
= +
2 1, 1t k t= + ≥
12
13t t
=
+
2 1, 1t k t= + ≥
1t ≥
13t t
∴ + 13 4 3OCADt St
+ ≥ ∴ ≤四边形 0k =
P ( )1,0N ( )2 2: 1 16M x y+ + =
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 为轨迹 内的一个动点,过点 且斜率为 的直线 交轨迹 于 两点,
当 为何值时？ 是与 无关的定值,并求出该值定值.
.
.
的值与 无关, ,
解得 .此时 .
P C
( ),0G m C G k l C A B、
k 2 2| |GA GBω = + m
2 2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
mk k mx x x xk k
−+ = ⋅ =+ +
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2
62 4 3
mky y k x m k x m k x x km k
∴ + = − + − = + − = +
( )( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3 4
4 3
k m
y y k x m x m k x x k m x x k m k
−
⋅ = − − = − + + = +
( ) ( )2 22 2 2 2
1 1 2 2| |GA GB x m y x m y∴ + = − + + − +
( ) ( ) ( )2 22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2x x x x m x x m y y y y= + − − + + + + −
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
22
6 4 3 24 3
1
4 3
m k k
k
k
− − + +
= +
+
2 2| |GA GBω = + m 24 3 0k∴ − =
3
2k = ± 2 2| | 7GA GBω = + =
（方法 ：①当 时,…；②当 时,设直线 ,…；可以减少计算量.）
16．已知椭圆 的焦距为 ,且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若不经过点 的直线 与 交于 两点,且直线 与直线 的斜率
之和为 ,证明：直线 的斜率为定值.
（2）设点 ,则 ,由 消去 得
, （ * ） 则 , 因 为
, 即 , 化 简 得 . 即
. （ ** ） 代 入 得
,整理得 ,所以
或 .若 ,可得方程（*）的一个根为 ,不合题意,所以直线 的斜率为
定值,该值为 .
17．已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 轴上,离心率等于 ,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆 C 的标准方程.
2 2 0k = 0k ≠ :l x k y m′= +
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 6 ( )2,1A
C
A :l y kx m= + C ,P Q AP AQ
0 PQ
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 1 2 2,y kx m y kx m= + = + 2 2
,
{
1,8 2
y kx m
x y
= +
+ = y
( )2 2 24 1 8 4 8 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
8 4 8,4 1 4 1
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
0PA PQk k+ = 1 2
1 2
1 1
2 2
y y
x x
− −= −− −
( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 22 4 0x y x y x x y y+ − + − + + =
( )( )1 2 1 22 1 2 4 4 0kx x m k x x m+ − − + − + =
( ) ( )2
2 2
2 4 8 8 1 2 4 4 04 1 4 1
k m km m k mk k
− − −− − + =+ +
( )( )2 1 2 1 0k m k− + − = 1
2k =
1 2m k= − 1 2m k= − 2 PQ
1
2
x 1
2
2 8 3x y=
（2）已知点 在椭圆 C 上,点 A、B 是椭圆 C 上不同于 P、Q 的两个动
点,且满足： .试问：直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由.
（2）直线 x=﹣2 与椭圆 交点 P（﹣2,3）,Q（﹣2,﹣3）或 P（﹣2,﹣3）,Q
（﹣2,3）,∴|PQ|=6,设 A （x1,y1 ）,B（ x2,y2）,
当∠APQ=∠BPQ 时直线 PA,PB 斜率之和为 0．
设 PA 斜率为 k,则 PB 斜率为﹣k．
当 P（﹣2,3）,Q（﹣2,﹣3）时,
PA 的直线方程为 y﹣3=k（x+2）
与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0
∴ = ;
( ) ( )2, , 2, ( 0)P t Q t t− >
APQ BPQ∠ = ∠
2 2
116 12
x y+ =
( )1 2x + −
2
2
16 24
3 4
k k
k
− −
+
同理
∴
, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=
直线 AB 斜率为
18．已知椭圆 ： （ ）经过点 ,且两焦点与短轴的一个端
点的连线构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线 ： （ , ）交椭圆 于 、 两点,试问：在坐标
平面上是否存在一个定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 .若存在,求出点 的坐标；若不
存在,请说明理由.
（2）首先求出动直线过 点.
( ) 2
2 2
16 242 3 4
k kx k
− ++ − = +
2
1 2 2
12 16
3 4
kx x k
−+ = +
1 2 2
48
3 4
kx x k
−− = + 2
24
3 4
k
k
−
+
1 2
1 2
1
2
y y
x x
− =−
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 21, 2P
l 1 03mx ny n+ + = m n R∈ C A B
T AB T T
10, 3
−
当 与 轴平行时,以 为直径的圆的方程：
当 与 轴平行时,以 为直径的圆的方程：
由 解得
即两圆相切于点 ,因此,所求的点 如果存在,只能是 ,事实上,点 就是所求
的点.
证明如下：
当直线 垂直于 轴时,以 为直径的圆过点
L x AB
2 2
2 1 4
3 3x y + + =
L y AB 2 2 1x y+ =
2 2
2
2 2
1 4
{ 3 3
1
x y
x y
+ + =
+ =
0{ 1
x
y
=
=
( )0,1 T ( )0,1 ( )0,1T
L x AB ( )0,1T
所以在坐标平面上存在一个定点 满足条件.
19．已知曲线 上的点到二定点 、 的距离之和为定值 ,
以 为圆心半径为 4 的圆 与 有两交点,其中一交点为 , 在 y 轴正半轴上,圆 与 x
轴从左至右交于 二点, ．
(1)求曲线 、 的方程；
(2)曲线 ,直线 与 交于点 ,过 点的直线 与曲线 交于 二点,
过 做 的切线 , 交于 ．当 在 x 轴上方时,是否存在点 ,满足
,并说明理由．
( )0,1T
1L ( )1 0F c− ， ( )2 0F c， ( 0)c > 1 28 F F>
2F 2L 1L B B 2L
M N， 030BNM∠ =
1L 2L
2
3 : 2L x y= 2x = 1L P P l 3L 1 2K K、
1 2K K、 3L 1 2l l、 1 2l l、 D P D
1 1 2 2DF PF PF DF− = −
(2)存在点 ,满足 ．下面证明之．
由题设知, 得 ,又知
设点
则 ,
∵ , ∴
∵ 交于 ∴ , ∴
同理 ∴ 在直线 上【来.源：全,品…中&高*考*网】
∴ ∵ 在 上 ∴
【来.源：全,品…中&高*考*网】
即点 为直线 上的点
( )0 0D x y， 1 1 2 2DF PF PF DF− = −
2
3
1: 2L y x= y x′ = ( )2 3P ，
( ) ( )1 1 1 2 2 2K x y K x y， ， ，
( )1 1 1 1:l y x x x y= − + ( )2 2 2 2:l y x x x y= − +
2
1 1
1
2y x= ( ) 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1: 2l y x x x y x x x x x y= − + = − = −
1 2l l、 D 1D l∈ 1 0 1 0x x y y− =
2 0 2 0x x y y− = 1 2K K、 0 0x x y y− =
0 0:l x x y y− = ( )2 3P ， l 0 02 3x y− =
D : 2 3l y x= −′
由 得
知 为椭圆 上的点,即 为椭圆 和直线 的公共点．
将 坐标代入 方程左端得
即 上的点 在椭圆 内部 ∴ 与椭圆 必有二公共点
∴必存在两个满足题设条件的点 ．
20．已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 2,以 为中点的弦 经过左
焦点 ,其中点 不与坐标原点 重合,射线 与以 圆心的圆交于点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若四边形 是矩形,求圆 的半径；
（3）若圆 的半径为 2,求四边形 面积的最小值.
1 1 2 2DF PF PF DF− = − 1 2 1 2DF DF PF PF+ = +
D 1L D 1L l′
3 02
， 1L
2 23 0 14 16 12
+ <⋅
l′ 3 02
， 1L l′ 1L
D
1C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > M AB
( )1 1,0F − M O OM O P
1C
OAPB O
O OAPB
所以 的中点 为 .
因为四边形 是矩形,所以 ,且 .
则 ,即 ,②
又因为 , ,③
由①②③解得 .
所以点 ,
所以圆 的半径 .
AB M 2 2
2 ,2 2
m
m m
−
+ +
OAPB OA OB⊥ 2OP OM=
0OA OB⋅ =
1 2 1 2 0x x y y+ =
1 1 1x my= − 2 2 1x my= −
2 1
2m =
4 2,5 5M
− ±
O 6 22 5R OP OM= = =
,其中 .
可知当 时, ,
即四边形 面积的最小值为 .
21．在平面直角坐标系中,圆 与 轴的正半轴交于点 ,以 为圆心的圆
与圆 交于 两点.
1 22S OP d= ⋅ =
2
22
2 2 1 32 2 1 44
m
mm
+ = − ++ Rm∈
0m = min 2S =
OAPB 2
2 2: 4O x y+ = x A A
( )2 2 2: 2A x y r− + =
( )0r > O ,B C
（1）若直线 与圆 切于第一象限,且与坐标轴交于 ,当线段 长最小时,求直线 的
方程；
（2）设 是圆 上异于 的任意一点,直线 分别与 轴交于点 和 ,问
是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.
分别令 ,得 ,
所以 为定值.
l O ,D E DE l
P O ,B C ,PB PC x M N
OM ON⋅
0y = 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1
,M N
x y x y x y x yx xy y y y
− += =− +
( ) ( )2 2 2 22 2 2 2
1 0 0 11 0 0 1
2 2 2 2
0 1 0 1
4 4
4M N
y y y yx y x yOM ON x x y y y y
− − −−⋅ = = = =− −
22．已知椭圆 的左、右两个焦点分别为 ,离心率 ,短轴
长为 2.
（1）求椭圆的方程；【来.源：全,品…中&高*考*网】
（2）点 为椭圆上的一动点（非长轴端点）, 的延长线与椭圆交于 点, 的延长线
与椭圆交于 点,求 面积的最大值.
【解析】（1） 由题意得 ,解得 ,
∵ ,∴ , ,
故椭圆的标准方程为
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1 2,F F 2
2e =
A 2AF B AO
C ABC∆
2 2b = 1b =
2 2 22 ,2
ce a b ca
= = = + 2a = 1c =
2
2 12
x y+ =
点 到直线 的距离
( ) 22 2
2
2 2
4 2 21 42 1 2 1
k kk k k
− = + ⋅ − ⋅ + +
2
2
12 2 2 1
k
k
+= +
O 0kx y k− − =
2 21 1
k kd
k k
−= =
+ +