2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第三篇 (二) 62页

第三篇　渗透数学思想 ， 提升学科素养 ( 二 ) 分类 与整合思想、转化与化归思想 分类与整合思想 栏目索引 转化与化归思想 数学 素养专练 一、概念、定理分类整合 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列 { a n } 的前 n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决 . 解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论 . 汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合 . 分类与整合思想 1. 若一条直线过点 (5 ， 2) ， 且在 x 轴 ， y 轴上截距相等 ， 则这条直线的方程为 A. x ＋ y － 7 ＝ 0 B.2 x － 5 y ＝ 0 C. x ＋ y － 7 ＝ 0 或 2 x － 5 y ＝ 0 D. x ＋ y ＋ 7 ＝ 0 或 2 y － 5 x ＝ 0 √ 解析　 设该直线在 x 轴， y 轴上的截距均为 a ， 则直线方程为 x ＋ y － 7 ＝ 0. 答案 解析 2. 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 S n ＝ 2 a n － 2 ，则 S 5 － S 4 的值为 A.8 　　　　 B.10 　　　　 C.16 　　　　 D.32 √ 解析　 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 － 2 ，解得 a 1 ＝ 2. 因为 S n ＝ 2 a n － 2 ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2 ， 两式相减得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ，即 a n ＝ 2 a n － 1 ， 则数列 { a n } 为首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， 则 S 5 － S 4 ＝ a 5 ＝ 2 5 ＝ 32. 答案 解析 √ 解析　 因为 A ∩ B ＝ B ，所以 B ⊆ A . 若 B 为 ∅ ，则 m ＝ 0 ； 综上， m ∈ {0 ，－ 1 ， 2}. 故选 A. 答案 解析 答案 解析 解析　 f (1) ＝ e 0 ＝ 1 ，即 f (1) ＝ 1. 由 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2 ，得 f ( a ) ＝ 1. 当 a ≥ 0 时， f ( a ) ＝ 1 ＝ e a － 1 ，所以 a ＝ 1. 当－ 1< a <0 时， f ( a ) ＝ sin(π a 2 ) ＝ 1 ， 二、图形位置、形状分类整合 图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系 . 5. 已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为 √ 答案 解析 √ 答案 解析 只有当直线 y ＝ kx ＋ 1 与直线 x ＝ 0 或 y ＝ 2 x 垂直时才满足 . 7. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若曲线 C 上存在点 P 满足 | PF 1 | ∶| F 1 F 2 |∶| PF 2 | ＝ 4∶3∶2 ，则曲线 C 的离心率为 ______. 解析　 不妨设 | PF 1 | ＝ 4 t ， | F 1 F 2 | ＝ 3 t ， | PF 2 | ＝ 2 t ，其中 t >0. 若该曲线为椭圆，则有 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 6 t ＝ 2 a ， 若该曲线为双曲线，则有 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 2 t ＝ 2 a ， 答案 解析 8. 抛物线 y 2 ＝ 4 px ( p >0) 的焦点为 F ， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若 △ OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为 ____. 4 答案 解析 解析　 当 | PO | ＝ | PF | 时，点 P 在线段 OF 的中垂线上 ， 此时 ，点 P 的位置有两个； 当 | OP | ＝ | OF | 时，点 P 的位置也有两个； 对 | FO | ＝ | FP | 的情形，点 P 不存在 . 又 ∵ y 2 ＝ 4 px ， ∴ x 2 ＋ 2 px ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2 p ， 当 x ＝ 0 时，不构成三角形 . 当 x ＝－ 2 p ( p >0) 时，与点 P 在抛物线上矛盾 . ∴ 符合要求的点 P 有 4 个 . 三、含参问题分类整合 某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等 . 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全 . 9. 已知实数 a ， x ， a >0 且 a ≠ 1 ，则 “ a x >1 ” 的充要条件为 A.0< a <1 ， x <0 B. a >1 ， x >0 C.( a － 1) x >0 D. x ≠ 0 √ 解析　 由 a x >1 知， a x > a 0 ， 当 0< a <1 时， x <0 ； 当 a >1 时， x >0. 故 “ a x >1 ” 的充要条件为 “ ( a － 1) x >0 ”. 答案 解析 10. 若函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0 ， 2] 上有最大值 f (2) ，则实数 a 的取值范围为 A.( － ∞ ，－ 1] 　 B .[ － 1 ，＋ ∞ ) 　 C .( － ∞ ， 0) 　 D .(0 ，＋ ∞ ) √ 解析 　 当 a ＝ 0 时 ， f ( x ) ＝ 4 x － 3 在 [0 ， 2] 上为增函数 ， 最大值为 f (2) ， 满足题意 . 当 a >0 时 ， f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0 ， 2] 上为增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0 ， 2] 上为增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . 综上 ，当 a ≥ － 1 时，函 数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0 ， 2] 上有最大 值 f (2). 故选 B. 答案 解析 11. 设函数 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ a ＋ 3 ， g ( x ) ＝ ax － 2 a ，若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 )<0 和 g ( x 0 )<0 同时成立，则实数 a 的取值范围为 A.(7 ，＋ ∞ ) B .( － ∞ ，－ 2) ∪ (6 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 2) D.( － ∞ ，－ 2) ∪ (7 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 解析　 由 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ a ＋ 3 知， f (0) ＝ a ＋ 3 ， f (1) ＝ 4. 又存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 )<0 ， 所以 Δ ＝ a 2 － 4( a ＋ 3)>0 ，解得 a < － 2 或 a >6. 又 g ( x ) ＝ ax － 2 a 的图象恒过点 (2 ， 0) ， 故当 a >6 时，作出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象如图 1 所示， 当 a < － 2 时，作出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象如图 2 所示 . 由函数的图象知，当 a >6 时，若 g ( x 0 )<0 ，则 x 0 <2 ， 当 a < － 2 时，若 g ( x 0 )<0 ，则 x 0 >2 ， 又 f (1) ＝ 4 ， ∴ f ( x 0 )<0 不成立 . 综上，实数 a 的取值范围为 (7 ，＋ ∞ ). 转化与化归思想 一、特殊与一般的转化 一般问题特殊化 ，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路 . 1. 据统计某超市两种蔬菜 A ， B 连续 n 天价格分别为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a n 和 b 1 ， b 2 ， b 3 ， … ， b n ，令 M ＝ { m | a m ＜ b m ， m ＝ 1 ， 2 ， … ， n } ，若 M 中 元素 个数大于 ， 则称蔬菜 A 在这 n 天的价格低于蔬菜 B 的价格 ， 记作 ： A ＜ B ， 现有 三种蔬菜 A ， B ， C ，下列说法正确的是 A. 若 A ＜ B ， B ＜ C ，则 A ＜ C B. 若 A ＜ B ， B ＜ C 同时不成立，则 A ＜ C 不成立 C. A ＜ B ， B ＜ A 可同时不成立 D. A ＜ B ， B ＜ A 可同时成立 √ 解析　 特例法 ： 例如蔬菜 A 连续 10 天价格分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ， 10 ， 蔬菜 B 连续 10 天价格分别为 10 ， 9 ， … ， 1 时， A ＜ B ， B ＜ A 同时不成立，故选 C. 答案 解析 √ 答案 解析 √ 3. 已知函数 f ( x ) ＝ ( a － 3) x － ax 3 在 [ － 1 ， 1] 上的最小值为－ 3 ，则实数 a 的取值范围是 解析 　 当 a ＝ 0 时 ， 函数 f ( x ) ＝－ 3 x ， x ∈ [ － 1 ， 1] ， 显然满足条件 ， 故排除 A ， B ； 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ′ ( x ) ≤ 0 ，所以 f ( x ) 在 [ － 1 ， 1] 上为减函数， 综上，选 D. 答案 解析 答案 解析 二、命题的等价转化 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决 . 一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化 . 5. 由命题 “ 存在 x 0 ∈ R ， 使 － m ≤ 0 ” 是假命题，得 m 的取值范围 是 ( － ∞ ， a ) ，则实数 a 的值是 A.( － ∞ ， 1) B .( － ∞ ， 2) C.1 D.2 √ 解析　 命题 “ 存在 x 0 ∈ R ， 使 － m ≤ 0 ” 是假命题， 可知它的否定形式 “ 任意 x ∈ R ， e | x － 1| － m >0 ” 是真命题， 可得 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 1) ， 而 ( － ∞ ， a ) 与 ( － ∞ ， 1) 为同一区间，故 a ＝ 1. 答案 解析 A.40 B.80 C.160 D.240 √ 答案 解析 解析　 因为三棱锥 P － ABC 的三组对棱两两相等， 则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中 ( 如图所示 ) ， 把三棱锥 P － ABC 补成一个长方体 AEBG － FPDC ， 可知三棱锥 P － ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线 . 不妨令 PE ＝ x ， EB ＝ y ， EA ＝ z ， 从而知 V P － ABC ＝ V AEBG － FPDC － V P － AEB － V C － ABG － V B － PDC － V A － FPC 7. 对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的所有实数 p ，使不等式 x 2 ＋ px >4 x ＋ p － 3 成立的 x 的取值范围是 ______________ ___ _____. 解析　 设 f ( p ) ＝ ( x － 1) p ＋ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 则当 x ＝ 1 时， f ( p ) ＝ 0 ，所以 x ≠ 1. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 从图中可知 ， 当过 P 的直线与圆相切时斜率取最值 ， 此时对应的直线斜率分别为 k PB 和 k PA ， 其中 k PB 不存在 . 答案 解析 三、 函数、方程、不等式之间的转化 函数、方程与不等式就像 “ 一胞三兄弟 ” ，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作 . 即 a > － x 2 ＋ 3 x 在 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 又当 x ＝ 2 时， ( － x 2 ＋ 3 x ) max ＝ 2 ，所以 a >2. (2 ，＋ ∞ ) 答案 解析 答案 解析 解析　 方法一　因为点 P 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 50 上， 因为 A ( － 12 ， 0) ， B (0 ， 6) ， 方法二　设 P ( x ， y ) ， ∴ ( － 12 － x )·( － x ) ＋ ( － y )·(6 － y ) ≤ 20 ，即 2 x － y ＋ 5 ≤ 0. 如图，作圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 50 ，直线 2 x － y ＋ 5 ＝ 0 与 ⊙ O 交于 E ， F 两点， ∵ P 在圆 O 上且满足 2 x － y ＋ 5 ≤ 0 ， ∴ 点 P 在 上 . 11. 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax － 1 ， g ( x ) ＝ f ′ ( x ) － ax － 5 ，其中 f ′ ( x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对满足－ 1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值，都有 g ( x )<0 ，则实数 x 的取值范围 为 _____ _ ___. 解析　 由题意知， g ( x ) ＝ 3 x 2 － ax ＋ 3 a － 5 ， 令 φ ( a ) ＝ (3 － x ) a ＋ 3 x 2 － 5( － 1 ≤ a ≤ 1). 对－ 1 ≤ a ≤ 1 ，恒有 g ( x )<0 ，即 φ ( a )<0 ， 答案 解析 答案 解析 ( － ∞ ，－ e 2 ] 所以 g ( x ) min ＝ g (e 2 ) ＝ 2 － e 2 ，所以 a ≤ 2 － e 2 . 综上知 a ≤ － e 2 . 数学素养专练 1. 如果 a 1 ， a 2 ， … ， a 8 为各项都大于零的等差数列，公差 d ≠ 0 ，那么 A. a 1 a 8 > a 4 a 5 B. a 1 a 8 < a 4 a 5 C. a 1 ＋ a 8 > a 4 ＋ a 5 D. a 1 a 8 ＝ a 4 a 5 √ 解析　 取特殊数列 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 显然 只有 1 × 8<4 × 5 成立，即 a 1 a 8 < a 4 a 5 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 解析　 由 f ( f ( a )) ＝ 2 f ( a ) 得 f ( a ) ≥ 1. 当 a <1 时，有 3 a － 1 ≥ 1 ， 当 a ≥ 1 时，有 2 a ≥ 1 ， ∴ a ≥ 0 ， ∴ a ≥ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 过双曲线 x 2 － ＝ 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 4 ，则这样的直线 l 有 A.1 条 　　　 B.2 条 　　　 C.3 条 　　　 D.4 条 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为双曲线的两个顶点之间的距离是 2 ，小于 4 ， 所以当直线 l 与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以此时线段 AB 的长度是 4 ， 即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为 4 的直线仅有一条 . 综上可知，有 3 条直线满足 | AB | ＝ 4. 4. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ p n － 1( p 是常数 ) ，则数列 { a n } 是 A. 等差数列 B . 等比数列 C. 等差数列或等比数列 D . 以上都不对 √ 解析　 ∵ S n ＝ p n － 1 ， ∴ a 1 ＝ p － 1 ， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( p － 1) p n － 1 ( n ≥ 2) ， 当 p ≠ 1 且 p ≠ 0 时， { a n } 是等比数列； 当 p ＝ 1 时， { a n } 是等差数列； 当 p ＝ 0 时， a 1 ＝－ 1 ， a n ＝ 0( n ≥ 2) ， 此时 { a n } 既不是等差数列也不是等比数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 5. 如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， EF 是棱 AB 上的一条线段， 且 EF ＝ 2 ，点 Q 是 A 1 D 1 的中点，点 P 是棱 C 1 D 1 上的动点，则四面体 PQEF 的体积 A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值 C. 是变量且有最大值和最小值 D. 是常数 √ 解析　 点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以 △ EFQ 的面积为定值 . 由 C 1 D 1 ∥ EF ， C 1 D 1 ⊄ 平面 EFQ ， EF ⊂ 平面 EFQ ，可得棱 C 1 D 1 ∥ 平面 EFQ ， 所以 点 P 到平面 EFQ 的距离是常数，于是可得四面体 PQEF 的体积为常数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 根据 t 的几何意义可知， t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 若 m ≤ 0 ，那么 f ( x ) ＝ f ( － x ) 只可能有 2 个实根，所以 m ＞ 0 ， 若 f ( x ) ＝ f ( － x ) 有四个实根，根据对称性可知当 x ＞ 0 时， 设 y ＝ x ln x ，则 y ′ ＝ ln x ＋ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 已知函 数 f ( x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x 的定义域为 [ － 3 ， 3] ， 则不等 式 f ( x 2 ＋ 1 ) > f ( － 2) 的解集为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 因为 f ( － x ) ＝－ x (e － x － e x ) － cos( － x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x ＝ f ( x ) ， 所以函数 f ( x ) 为偶函数， 令 h ( x ) ＝－ cos x ，易知 h ( x ) 在 [0 ， 3] 上为增函数， 故函数 f ( x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x 在 [0 ， 3] 上为增函数， 所以 f ( x 2 ＋ 1)> f ( － 2) 可变形为 f ( x 2 ＋ 1)> f (2) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b ( a >0 ， a ≠ 1) 的定义域和值域都是 [ － 1 ， 0] ，则 a ＋ b ＝ ____. 解析　 当 a >1 时，函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b 在 [ － 1 ， 0] 上为增函数， 当 0< a <1 时，函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b 在 [ － 1 ， 0] 上为减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 若 ∠ PF 2 F 1 ＝ 90° ， 则 | PF 1 | 2 ＝ | PF 2 | 2 ＋ | F 1 F 2 | 2 ， 若 ∠ F 1 PF 2 ＝ 90° ，则 | F 1 F 2 | 2 ＝ | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ， 所以 | PF 1 | 2 ＋ (6 － | PF 1 |) 2 ＝ 20 ，且 | PF 1 |>| PF 2 | ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2017· 浙江 ) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ，则 | a ＋ b | ＋ | a － b | 的最小值是 ____ ， 最大值是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4 解析　 设 a ， b 的夹角为 θ ， ∵ | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ， ∵ θ ∈ [0 ， π] ， ∴ cos 2 θ ∈ [0 ， 1] ， ∴ y 2 ∈ [16 ， 20] ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 当点 P 在短轴端点时， ∠ F 1 PF 2 达到最大值， 即 ∠ F 1 BF 2 ≥ 120° 时 ， 椭圆 上存在点 P 使得 ∠ F 1 PF 2 ＝ 120° ， 而椭圆越扁， ∠ F 1 BF 2 才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12