【数学】2018届一轮复习人教A版（理）3-1变化率与导数、导数的计算学案 13页

‎§3.1　变化率与导数、导数的计算 考纲展示►　1.了解导数概念的实际背景．‎ ‎2．理解导数的几何意义．‎ ‎3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．‎ ‎4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．‎ 考点1　导数的概念及运算法则 ‎1.导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：‎ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ ________.‎ 函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝‎ 为f(x)的导函数．‎ 答案： ‎2．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数)‎ f′(x)＝________‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝________‎ f(x)＝sin x f′(x)＝________‎ f(x)＝cos x f′(x)＝________‎ f(x)＝ex f′(x)＝________‎ f(x)＝ax(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝________‎ 续表 基本初等函数 导函数 f(x)＝ln x f′(x)＝________‎ f(x)＝logax ‎(a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝________‎ 答案：0　αxα－1　cos x　－sin x　ex　axln a　　 ‎3．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝________；‎ ‎(2)[f(x)g(x)]′＝________；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ 答案：(1)f′(x)±g′(x)　‎ ‎(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)‎ ‎4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．‎ 答案：yu′·ux′　y对u　u对x ‎(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.‎ 答案：－9.8t＋6.5，－9.8‎ ‎(2)[教材习题改编]f(x)＝cos x在点处的切线的倾斜角为________．‎ 答案： 导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错．‎ ‎(1)若函数f(x)＝2x3＋a2，则f′(x)＝________.‎ 答案：6x2‎ 解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x2＋‎2a，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.‎ ‎(2)函数y＝的导函数为__________．‎ 答案：y′＝ 解析：y′＝＝，易用错商的求导法则．‎ ‎[典题1]　分别求出下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sin cos ；‎ ‎(4)y＝ln.‎ ‎[解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex.‎ ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ ‎(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.‎ ‎(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，‎ ‎∴y′＝··(1＋2x)′＝.‎ ‎[点石成金]　导数的运算方法 ‎(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．‎ ‎(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．‎ 考点2　导数运算的应用 ‎[典题2]　(1)[2017·吉林实验中学高三]函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(0,1)‎ C．(ln 2，＋∞) D．(0，ln 2)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设F(x)＝，F′(x)＝＝>0，‎ ‎∴F(x)在定义域R上单调递增，不等式f(x)>ex即F(x)>1，‎ ‎∵f(ln 2)＝2，∴F(ln 2)＝1，即F(x)>F(ln 2)，‎ ‎∴x>ln 2，故选C.‎ ‎(2)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 016)＋2 016ln x，则f′(2 016)＝________.‎ ‎[答案]　－2 017‎ ‎[解析]　由题意得f′(x)＝x＋‎2f′(2 016)＋，所以f′(2 016)＝2 016＋‎2f′(2 016)＋，即f′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.‎ ‎(3)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．‎ ‎[答案]　212‎ ‎[解析]　因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a‎1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a‎2a7＝a‎3a6＝a‎4a5＝a‎1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.‎ ‎[点石成金]　在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1 B．－2 ‎ C．2 D．0‎ 答案：B 解析：∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，‎ ‎∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，‎ ‎∴‎4a＋2b＝2，‎ ‎∴f′(－1)＝－‎4a－2b＝－2.‎ ‎2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 017(x)＝(　　)‎ A．sin x B．－sin x ‎ C．cos x D．－cos x 答案：C 解析：f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2 017(x)＝cos x.‎ 考点3　导数的几何意义 导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点________处的________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为________．‎ 答案：P(x0，y0)　切线的斜率　y－y0＝f′(x0)(x－x0)‎ 曲线y＝2x3－3x＋5在点(2,15)处的切线的斜率为________．‎ 答案：21‎ 解析：因为y′＝6x2－3，所以曲线在点(2,15)处的切线的斜率k＝6×22－3＝21.‎ 求曲线的切线方程：确定切点；求导数；得出斜率；写出切线方程．‎ ‎(1) 曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为__________．‎ 答案：3x－y－1＝0‎ 解析：依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.‎ ‎(2)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.‎ 答案： 解析：易知点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，‎ y′＝2ax－，‎ ‎∴y′|x＝1＝‎2a－1＝0，∴a＝.‎ ‎[考情聚焦]　导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 求切线方程 ‎[典题3]　(1)[2017·河北唐山模拟]曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)‎ A．(1－e)x－y＋1＝0 ‎ B．(1－e)x－y－1＝0‎ C．(e－1)x－y＋1＝0 ‎ D．(e－1)x－y－1＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由于y′＝e－，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.‎ ‎(2)[2017·四川雅安模拟]设曲线y＝ex＋ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝(　　)‎ A．3 B．1‎ C．2 D．0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，‎ ‎∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.‎ ‎(3)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有(　　)‎ A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；当x0＝2时，y＝－1＜0.结合函数y＝2x－6x＋7的单调性可得方程2x－6x＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条，故选A.‎ 角度二 求切点坐标 ‎[典题4]　若曲线y＝xln x上点P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎[答案]　(e，e)‎ ‎[解析]　由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．‎ 角度三 求参数的值 ‎[典题5]　(1)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C．1 D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵两曲线的交点为(0，m)，‎ ‎∴即a＝1，‎ ‎∴f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x，‎ 则f′(0)＝0，f(0)＝1.‎ 又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，‎ ‎∴b＝0，∴a＋b＝1.‎ ‎(2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　[2，＋∞)‎ ‎[解析]　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，‎ ‎∴f′(x)＝x－a＋.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，‎ ‎∴f′(x)存在零点，‎ ‎∴x＋－a＝0有解，‎ ‎∴a＝x＋≥2(x＞0)．‎ ‎[点石成金]　1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．‎ ‎2．已知斜率k，求切点A(x0，f(x0))，即解方程f′(x0)＝k.‎ ‎3．(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．‎ ‎(2)当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.‎ ‎[方法技巧]　1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即[f(x0)]′＝0.‎ ‎2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．‎ ‎[易错防范]　1.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎2．利用公式求导时，要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ ‎3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，但直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，但直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过点(0,0)的切线y＝0的两侧．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于(　　)‎ A．2e B．e C．2 D．1‎ 答案：C 解析：y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：D 解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.‎ ‎3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．‎ 答案：y＝－2x－1‎ 解析：由题意可得，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.‎ ‎4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.‎ 答案：1－ln 2‎ 解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，‎ y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，‎ 化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，‎ 依题意，得 解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.‎ ‎5．[2015·陕西卷]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ 答案：(1,1)‎ 解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 求解导数问题最有效的两种解题方法 方法一　公式法 利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是：‎ 第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导；‎ 第二步，得结论；‎ 第三步，解后反思．‎ ‎[典例1]　[改编题]求函数y＝sin2的导数．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　解法一：y′＝2sin′‎ ‎＝2sincos·′‎ ‎＝4sincos ‎＝2sin.‎ 解法二：设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，‎ 则y′＝yu′·uv′·vx′‎ ‎＝2u·cos v·2‎ ‎＝4sin vcos v ‎＝4sincos ‎＝2sin.‎ 温馨提示 当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．‎ 方法二　构造法 有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：‎ 第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；‎ 第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导；‎ 第三步，得出结论．‎ ‎[典例2]　证明：当x＞1时，有ln2(x＋1)＞ln x·‎ ln(x＋2)．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[证明]　构造辅助函数f(x)＝(x＞1)，于是有f′(x)＝‎ eq f(xln x－(x＋1)ln(x＋1),x(x＋1)ln2x).‎ 因为1＜x＜x＋1，‎ 所以0＜ln x＜ln(x＋1)，‎ 即xln x＜(x＋1)ln(x＋1)．‎ 则在(1，＋∞)内恒有f′(x)＜0，‎ 故f(x)在(1，＋∞)内单调递减．‎ 又1＜x＜x＋1，‎ 则f(x)＞f(x＋1)，‎ 即＞，‎ 所以ln2(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)．‎ 技巧点拨 要证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则F(x)在(a，b)内是增函数，同时F(a)≥0，则有x∈(a，b)时，F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．同理可证明f(x)＜g(x)．但要注意，此法中所构造的函数F(x)在给定区间内应是单调的．‎ 混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误 ‎[典例3]　若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝(　　)‎ A．－1或－ B．－1或 C．－或－ D．－或7‎ ‎[易错分析]　没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错．‎ ‎[解析]　因为y＝x3，所以y′＝3x2，‎ 设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，‎ 则在该点处的切线斜率为k＝3x，‎ 所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，‎ 即y＝3xx－2x.‎ 又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.‎ 当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；‎ 当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.‎ 综上，a的值为－1或－.‎ ‎[答案]　A 易错提醒 ‎1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．‎ ‎2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．‎