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- 2021-04-16 发布
梅州市2020届高三上学期第一次质量检测
文科数学
2019-10
本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知集合，则=（ ）．
A. B. C. D.
2．设复数满足，则（ ）．
A. B. C. D.
3．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数
0
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
18%
12%
4%
2%
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．
A.参加活动次数是3场的学生约为360人 B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人
C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人
4．已知双曲线:，直线与的两条渐近线的交点分别为， 为坐标原点．若为直角三角形，则的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
5．已知数列中，，．若数列为等差数列，则（ ）．
A. B. C. D.
6．已知，且，则（ ）．
A. B. C. D.
·14·
7．如图，线段是半径为的圆的一条弦，且的长为. 在圆内，将线段绕点按逆时针方向转动，使点移动到圆上的新位置，继续将线段绕点按逆时针方向转动，使点移动到圆上的新位置，依此继续转动……点的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．
A. B. C. D.
8．在边长为的等边中，点满足，则（ ）．
A． B． C． D．
9．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )．
A. B. C. D.
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）
A B C D
11．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为
A． B．12 C． D．
12．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
·14·
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．
13．若实数满足约束条件，则的最小值等于______．
14．已知长方体的外接球体积为，且，则直线与平面所成的角为______．
15．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则______．
16．已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
在中，角的对边分别是.已知.
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求的面积.
18.(本小题满分12分)
为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校(百个)
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
(Ⅰ)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明的线性相关性强弱
(已知：，则认为线性相关性很强；，则认为线性相关性一般；，则认为线性相关性较弱)；
(Ⅱ)求关于的线性回归方程，并预测地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).
·14·
参考公式：，，，，
19.(本小题满分12分)
如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面， ，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.
20.(本小题满分12分)
已知直线与焦点为的抛物线()相切.
(Ⅰ)求抛物线的方程；
(Ⅱ)过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数().
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若对于任意的(为自然对数的底数)，恒成立，求的取值范围.
·14·
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于两点，直线与曲线相交于两点.
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当时，求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知.
(Ⅰ)求的解集；
(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.
2019-2020学年高三级第一学期第一次质检
文科数学试题参考答案
·14·
一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A
1.【简解】，所以，故选D．
2.【简解一】因为，所以，故选B．
【简解二】因为，所以，所以，故选B．
3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：
人，故选D.
4.【简解】依题意得：因为为直角三角形，所以双曲线的渐近线为，即是等轴双曲线，所以的离心率，故选A．
5.【简解】依题意得：，因为数列为等差数列，
所以，所以，所以，故选C．
6.【简解一】由，且得，，代入得，=，故选C．
【简解二】由，且得，，
所以，故选C．
7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积
，故选B．
【简解二】依题意得：阴影部分的面积
·14·
，故选B．
8.【简解一】依题意得：
，故选D．
【简解二】依题意得：以为原点，所在的直线为轴建立平面直角直角坐标系，则，所以，故选D．
【简解三】依题意得：过点作于，如图所示，则，故选D．
9. 【简解】依题意得：函数在上单调递减，
因为，所以，即，在上恒成立，所以，即，故选B．
10. 【简解】【解析】∵函数在R上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，
∴当时，；当时，；当时，．
∴当时，；当时，；当或时，.选：C．
11.【解答】解：解：过作于，过作于，设，，则，，
．，
则四边形的面积为，故选：．
·14·
12.【解答】解：方程没有实数根，得方程没有实数根，
等价为函数与没有交点，
当时，直线与恒有交点，不满足条件．
当时，直线与没有交点，满足条件．
当时，当过点的直线相切时，设切点为，则，则，
则切线方程为．即，
切线过点，则，得，即切线斜率为，
要使与没有交点，则满足，即，
综上，即实数的取值范围是，，故选：．
二、填空题
13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值．通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大．因为解得，所以的最小值．
14.【简解】设长方体的外接球半径为，因为长方体的外接球体积为，所以,即，因为，所以.
因为平面，所以与平面所成的角为，
在中，因为，所以，所以．
15. 【简解】因为的图象向左平移单位长度，得到偶函数图象，所以函数的对称轴为，
·14·
所以，因为，所以．
16. 【简解】因为，且（为常数），所以，解得，
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，解得，又因为，所以或．
所以，当或时，，即满足条件的的取值集合为．
三、解答题：
17.(本小题满分12分)
解: (Ⅰ)∵，∴，………………2分
∴，∴. ……………………………………4分
∵，∴. …………………………6分
(Ⅱ)∵，∴， ………………………………8分
∵，∴， ……………………………… 10分
∴. …………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)， …………………………2分
·14·
，……………………4分
∴线性相关性很强. …………………………6分
(Ⅱ)，……………………8分
， ………………………………9分
∴关于的线性回归方程是. …………………………10分
当时，，
即地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明：取的中点为，连结. …………………………1分
由是三棱台得，平面平面，∴.………2分
∵，∴，……………………………………3分
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，为的中点，
∴，∴.……………………4分
∵平面平面，且交线为，平面，
∴⊥平面，而平面，∴. ……………………6分
(Ⅱ)∵三棱台的底面是正三角形，且，
∴，∴， ………………………………8分
∴. …………………………9分
由(Ⅰ)知，平面.
∵正的面积等于，∴，. …………………………10分
∵直角梯形的面积等于，∴，∴，
·14·
∴. …………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)∵直线与抛物线相切.由消去得，，……2分
从而，解得. ………………………………4分
∴抛物线的方程为. …………………………5分
(Ⅱ)由于直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为，()，().……6分
由消去得，， ………………………………7分
∴，从而， ……………………………………8分
∴线段的中点的坐标为(). ………………………………9分
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则
， …………………………11分
∴当时，可使、两点到直线的距离之和最小，距离的最小值为. ………………12分
21.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)的定义域为(). …………………………1分
·14·
. …………………………2分
⑴当时，恒成立，的单调递增区间为()，无单调递减区间；…………3分
⑵当时，由解得，由解得.………………4分
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是. ……………………5分
(Ⅱ)①当时，恒成立，在()上单调递增，
∴恒成立，符合题意. …………………………6分
②当时，由(Ⅰ)知，在 和上单调递增，在上单调递减.
(ⅰ)若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需 ，且.……………………………7分
而当时，且成立.
∴符合题意. ………………………………8分
(ⅱ)若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，∴符合题意.…………………………9分
(ⅲ)若，在上单调递增.
·14·
∴对任意的实数，恒成立，只需 ，……………………10分
即，∴符合题意.……………………………11分
综上所述，实数的取值范围是. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
【解析】（1）将直线的参数方程化为普通方程为. 2分
由，得， 3分
从而，即曲线的直角坐标方程为. 5分
（2）解法一：由，得.所以， 6分
将直线的参数方程代入圆的方程，得
由，得 …………………………………………………………8分
设A、B两点对应的参数为，则……9分
解得，或.所以，所求的值为或.………………………………………………10分
解法二：将射线化为普通方程为， 6分
由（1）知，曲线：的圆心，半径为，
由点到直线距离公式，得到该射线的最短距离为：，
所以该射线与曲线相交所得的弦长为． 7分
·14·
圆心到直线的距离为：， 8分
由，得，即， 9分
解得，或 所以，所求的值为或.……………………………………10分
23.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)由得，，所以，，解得，
所以，的解集为. …………………………5分
(Ⅱ)恒成立，即恒成立.
当时，；
当时，.
因为(当且仅当，即时等号成立)，
所以，即的最大值是. …………………………10分
·14·